Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин

Уравнение биссектрисы треугольника по координатам вершин

Даны координаты вершин треугольника А(3;13) В(-2;1) С(6;7)

1)Составить уравнение биссектрисы, внутреннего угла B

2) Найти угол B в радианах с точностью до двух знаков.

Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»

Даны вершины , , треугольника АВС. Найти:

Уравнения всех сторон треугольника;

Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС;

Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А;

Точку пересечения высот треугольника;

Точку пересечения медиан треугольника;

Длину высоты, опущенной на сторону АВ;

Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:

1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x, y) и (x1, y1):

=

Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ, записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС:

И так же уравнение прямой ВС:

2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС, например АВ, тогда неравенства

и

задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ. Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:

и .

Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством

.

Аналогично поступаем с прямой ВС, ее уравнение . В качестве пробной используем точку А (1, 1):

,

значит, нужное неравенство имеет вид:

.

Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:

,

значит, нужное неравенство будет иметь вид

Окончательно получаем систему неравенств:

Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС.

Читайте также:  Швейные машинки с обметочной строчкой

3. а) Для того, чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины А на сторону ВС, рассмотрим уравнение стороны ВС: . Вектор с координатами перпендикулярен стороне ВС и, значит, параллелен высоте. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно вектору :

Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС.

б) Найдем координаты середины стороны ВС по формулам:

Здесь – это координаты т. В, а – координаты т. С. Подставим и получим:

Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:

в) Уравнение биссектрисы мы будем искать, исходя из того, что в равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, опущенные из одной вершины на основание треугольника, равны. Найдем два вектора и и их длины:

,

Тогда вектор имеет такое же направление, что и вектор , а его длина Точно так же единичный вектор совпадает по направлению с вектором Сумма векторов

есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А. Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:

4) Уравнение одной из высот мы уже построили. Построим уравнение еще одной высоты, например, из вершины В. Сторона АС задается уравнением Значит, вектор перпендикулярен АС, и, тем самым, параллелен искомой высоте. Тогда уравнение прямой, проходящей через вершину В в направлении вектора (т. е. перпендикулярно АС), имеет вид:

Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:

— координаты этой точки.

5. Середина АВ имеет координаты . Запишем уравнение медианы к стороне АВ. Эта прямая проходит через точки с координатами (3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет вид:

Читайте также:  Как перенести экран телефона на телевизор

Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.

Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:

Точка пересечения медиан треугольника имеет координаты .

6. Длина высоты, опущенной на сторону АВ, равна расстоянию от точки С до прямой АВ с уравнением и находится по формуле:

7. Косинус угла А можно найти по формуле косинуса угла между векторами и , который равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин:

:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Ссылка на основную публикацию
Унитаз санита аттика отзывы
Перед тем как покупать Sanita Аттика хочется прочитать о нём отзывы владельцев, тех людей, кто уже купил и пользуется товаром...
Требовалось написать программу при выполнении
Требовалось написать программу, при выполнении которой с клавиатуры считывается натуральное число N, не превосходящее 109, и выводится максимальная цифра этого...
Трафареты шрифтов для вырезания из бумаги распечатать
Трафареты и шаблоны букв русского алфавита для вырезания из бумаги помогут вам красиво и быстро нанести надпись на любую поверхность....
Упал iphone полосы на экране
Узнайте, что делать. Если экран слишком чувствителен или не всегда реагирует на касания Перезапустите устройство. Убедитесь, что экран устройства чист,...
Adblock detector