Уравнение бернулли для струйки реальной жидкости

Уравнение бернулли для струйки реальной жидкости

В идеальной жидкости, в отличие от реальной, отсутствуют силы внутреннего трения (отсутствует вязкость). Благодаря вязкости в реальной жидкости происходят потери механической энергии потока на трение внутри жидкости и о стенки канала. При этом происходит рассеивание (диссипация) энергии. Энергия, потерянная на трение, превращается в теплоту и идет на пополнение запаса внутренней энергии жидкости, а часть ее отводится в виде тепла через стенки канала.

Внутренняя энергия жидкости не может быть непосредственно использована для приведения жидкости в движение и поэтому в гидравлике рассматривается как потеря механической энергии (потеря напора).

Для реальной жидкости равенство нарушается, и вместо него имеем , где – потеря напора на участке 1–2. Тогда для элементарной струйки реальной жидкости уравнение Бернулли примет вид

Таким образом, полный напор вдоль струйки реальной жидкости уменьшается. Для характеристики относительного изменения полного напора на единицу длины вводится понятие о гидравлическом уклоне

Например, на участке трубопровода 1–2 (см. рис. 4.26)

где l1-2 – длина участка 1–2.

Таким образом, гидравлическим уклоном называется отношение потери напора к длине, на которой она происходит.

Кроме того, вводится еще понятие о пьезометрическом уклоне

Пьезометрический уклон может быть положительным, равным нулю и отрицательным.

Применение уравнения Бернулли, выведенного для отдельной струйки, для потока жидкости затрудняется неравномерностью распределения скоростей по живому сечению потока, наличием поперечных составляющих продольной скорости и влиянием центробежных сил. В связи с этим необходимо установить характеристику потоков, для которых можно применять уравнение Бернулли, а также предложить способ учета неравномерности скоростей в живых сечениях потока.

Для решения этих вопросов в гидравлике выделяется так называемое плавно изменяющееся движение (рис. 4.27, 4.28), которое характеризуется следующими особенностями.

Рис. 4.27. Схема плавно изменяющегося движения

Рис. 4.28. Схема криволинейного плавно изменяющегося движения

  • 1. Угол расхождения соседних струек, а следовательно, и поперечные составляющие скоростей в живых сечениях потока настолько малы, что ими можно пренебречь и рассматривать течение как происходящее только с продольной скоростью.
  • 2. Кривизна линий тока настолько мала, а радиусы закруглений настолько велики, что центробежными силами в таких потоках можно пренебречь.
  • 3. Кривизна живых сечений при неравномерном распределении скорости настолько невелика, что их можно рассматривать как плоские.
  • 4. Гидродинамическое давление в живых сечениях распределяется по законам гидростатики, т.е. сумма для всех точек данного живого сечения. Следовательно, уровень в пьезометрах при плавно изменяющемся движении во всех точках живого сечения потока будет одним и тем же (рис. 4.29).

Рис. 4.29. Схема к определению величины гидродинамического давления

В случае плавноизменяющегося движения уравнение Бернулли для элементарной струйки можно распространить и на поток с поперечным сечением конечных размеров, скорости в различных точках которого различны. Однако в гидравлике обычно расчеты ведутся по средним скоростям. Для приведения результатов расчетов по средним скоростям в соответствие с расчетами по действительным скоростям вводятся некоторые поправочные коэффициенты (коэффициент Кориолиса, см. ниже).

Таким образом, плавно изменяющееся движение можно считать практически одномерным, т.е. положить , направив ось х параллельно потоку. Отсюда . Отсюда из уравнения неразрывности . Тогда система уравнений Навье – Стокса примет вид

Производные от скорости по переменным у и z означают, что скоростьизменяется по этим переменным, тогда как

Последние два уравнения переходят в уравнения гидростатики Эйлера, а это означает, что в плоскости yOz давления распределяются по закону гидростатики.

Распространим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в виде

(4.22)

на поток реальной жидкости.

Правая и левая части этого уравнения есть удельная энергия жидкости, т.е. энергия, отнесенная к единице веса. Весовой расход элементарной струйки определяется по формуле

Читайте также:  Щиток для квартиры с узо

где – сечение элементарной струйки; – объемный расход.

Умножая обе части уравнения (4.22) на, получим не удельную, а полную энергию элементарной струйки в сечениях 1 и 2 и полную потерю этой энергии между сечениями 1 и 2 в единицу времени, т.е. , где – энергия струйки в 1-м сечении;– энергия струйки во 2-м сечении; – потеря энергии между 1-м и 2-м сечениями.

Для того чтобы получить подобные соотношения мощностей для всего потока

необходимо произвести интегрирование:

(4.23)

Преобразуем эти интегралы:

Так как при плавноизменяющемся движении то во всех точках данного сечения и .

Запишем третье слагаемое в левой части соотношения (4.23) в виде

т. е. выразим его как произведение некоторого коэффициента а на скоростной напор, подсчитанный по средней скорости потока й, и на весовой расход жидкости

Коэффициент а называют коэффициентом кинетической энергии потока, или коэффициентом Кориолиса. Таким образом, а представляет отношение кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной в предположении, что скорости всех точек живого сечения потока равны средней скорости потока:

(4.24)

Кроме того, из формулы (4.24) следует

Отсюда заключаем, что коэффициент а характеризует неравномерность распределения скоростей по сечению потока. Для ламинарного режима , для турбулентного режима

Существенно большее значение а для ламинарного режима течения по сравнению с турбулентным объясняется большей неравномерностью скорости в поперечном сечении потока при ламинарном режиме (см. профили скоростей ламинарного и турбулентного режимов течения, приведенные на рис. 6.17).

Последний интеграл в соотношении (4.23) будет равен

Тогда уравнение Бернулли для потока примет вид

Поделив на весовой расход жидкости G = γQ обе части уравнения, получим соотношение для удельных энергий потока

Обычно для упрощения гидравлических расчетов трубопроводов для турбулентных потоков принимают, и уравнение Бернулли для потока будет иметь вид

Рассмотрим распределение напоров в жидкости, движущейся в трубопроводе, имеющем сужение в средней его части (рис. 4.30). Выделим три характерных сечения, в которых расположим пьезометры и трубки Пито (описание трубок см. в параграфе 4.14).

На рис. 4.30 при течении жидкости в трубопроводе могут быть выделены следующие характерные линии:

I – линия геометрических напоров;

II – пьезометрическая линия;

III – линия полного напора.

Рис. 4.30. Графическая иллюстрация уравнения Бернулли

Через обозначены потери напора соответственно на участках между первым и вторым, а также вторым и третьим сечениями.

Применительно к рис. 4.30 уравнение Бернулли запишется в виде

На рис. 4.30 отмечены все напоры, входящие в уравнение Бернулли. В частности, ясно, что пьезометрический напор в узком сечении уменьшается, а скоростной напор возрастает. Максимальная потеря напора имеет место в третьем сечении (, потери на трение и в местных сопротивлениях см. в гл. 6).

Реальная жидкость обладает вязкостью, и при ее движении возникают сопротивления движения. Сопротивления движения обусловлены появлением сил внутреннего трения. При движении струйки реальной жидкости механическая энергия, содержащаяся в струйке, вдоль нее будет уменьшаться, так как часть ее будет расходоваться на преодоление сопротивления, .

Эта энергия затрачивается на некоторую необратимую работу, т.е. на работу сил трения, и она переходит в тепло, которое рассеивается.

Чем больше длина струйки, тем больше будут затраты энергии на преодоление сопротивления движения.

Энергия, расходуемая на работу сил трения, — потери механической энергии струйки, переходящие в теплоту. Потери энергии, отнесенные к единице веса жидкости при перемещении ее вдоль элементарной струйки, называются гидравлическими потерями (потерями удельной энергии) .

Рассмотрим струйку реальной жидкости при установившемся движении (рис. 3.8).

Рис. 3.8. К уравнению Бернулли для струйки реальной жидкости

Читайте также:  Лучшие рабочие столы на пк

Полная удельная механическая энергия реальной струйки в ее живых сечениях 1-1 и 2-2 составит

Потери удельной механической энергии, обусловленные трением, на участке живых сечений 1-1 и 2-2

(3.45)

(3.46)

Таким образом, уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в случае установившегося движения можно представить в виде

(3.47)

Характеристикой движения жидкости является понятие пьезометрического и гидравлического уклонов.

На рис. 3.8 изображены кривые, характеризующие уравнение Бернулли. Линия, проходящая через точки, соответствующие значению пьезометрической высоты в живых сечениях 1-1 и 2-2, является пьезометрической линией.

Пьезометрическим уклоном называется изменение гидростатического напора жидкости вдоль струйки, отнесенное к единице длины. На участке струйки длиной между сечениями 1-1 и 2-2 пьезометрический уклон

(3.48)

Пьезометрический уклон, соответствующий бесконечно малой длине (при ), — уклон в точке:

(3.49)

Линия, проходящая через точки значений удельных механических энергий в живых сечениях струйки, является напорной линией (линией полного напора). Гидравлическим уклоном называется уменьшение полной удельной механической энергии вдоль струйки, отнесенное к единице длины:

(3.50)

При элементарном снижении удельной энергии на бесконечно малом участке гидравлический уклон

(3.51)

Так как кривая полного напора убывает по длине струйки, то знак в выражении (3.51) минус [ — убывающая функция].

В случае постоянства живых сечений по длине струйки пьезометрическая линия и линия полного напора параллельны.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9821 — | 7504 — или читать все.

Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости получается решением системы уравнений движения Эйлера. Для этого умножаем их соответственно на dx, dy, dz и складываем друг с другом. В результате получаем

. (3.8)

В уравнении (3.8) при установившемся движении

, , .

Слагаемые правой части уравнения (3.8) могут быть представлены в виде:

; ; .

, (3.9)

где υ – скорость, составляющие которой вдоль соответствующих осей координат равны υх, υу, υz.

Многочлен во второй скобке уравнения (3.8) его левой части представляет собой полный дифференциал давления dp. С учетом этого, уравнение (3.8) имеет вид:

. (3.10)

Если рассматривать равновесие покоящейся жидкости и координатную ось направить по вертикали вверх, то получим

, (3.11)

Выносим дифференциал за скобки, умножаем на (-1) и делим на g. После чего уравнение (3.11) принимает следующий вид:

. (3.12)

Интегрирование уравнения (3.12) дает

, (3.13)

или для двух сечений струйки

. (3.14)

Геометрический и энергетический смысл уравнения Бернулли

Величина Геометрический смысл Энергетический смысл
z Геометрическая (нивелирная) высота. Удельная потенциальная энергия положения.
Пьезометрический напор. Удельная потенциальная энергия давления.
Скоростной напор. Удельная кинетическая энергия.
Гидростатический напор. Удельная потенциальная энергия точки.
Гидродинамический напор. Полная энергия точки.

Геометрический смысл уравнения Бернулли состоит в том, что при установившемся движении идеальной жидкости, сумма статических и скоростных напоров, равных гидродинамическому напору, не изменяется при переходе от одного поперечного сечения к другому.

Из энергетического смысла уравнения Бернулли следует, что при установившемся движении идеальной жидкости, сумма удельной потенциальной и удельной кинетической энергий жидкости для каждого из поперечных сечений потока остается неизменной. Следовательно, при движении идеальной жидкости, количество энергии, поступающей с потоком через начальное сечение трубопровода равно количеству энергии, удаляющейся с потоком через конечное сечение трубопровода.

Таким образом, уравнение Бернулли, являетсячастным случаем закона сохранения и превращения энергии и выражает энергетический баланс потока.

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ПОТОКА РЕАЛЬНОЙ

ЖИДКОСТИ

Уравнение Бернулли для невязкой жидкости представляет собой закон сохранения энергии потока: напор в любом первом сечении всегда равен напору в любом последующем сечении(Н12).

Читайте также:  Что можно сделать чтобы не грелся ноутбук

В потоке реальной жидкости действуют силы инерции, давления, тяжести и кроме того силы внутреннего трения, зависящие от вязкости жидкости и характера ее движения. Также, в потоке существуют силы трения жидкости о стенки трубопровода. Указанные силы трения оказывают сопротивления движению жидкости, на преодоление которых расходуется некоторая часть энергии потока. Следовательно, общее количество энергии жидкости будет непрерывно уменьшаться по длине канала вследствие перехода части потенциальной энергии жидкости в потерянную (тепловую) энергию (Н1 >Н2) или (Н1 – Н2=∑ hпот , где∑ hпот суммарные потери напора на преодоление всех сопротивлений).

Соответственно, уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости записывается в виде:

. (3.15)

Распространение уравнения Бернулли, выделенного для отдельной струйки на целые потоки, рассматриваемые как совокупность множества струек, затрудняет неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока, наличие поперечных составляющих продольной скорости в живых сечениях и влияние центробежных сил. В соответствии с этим необходимо установить характеристику потоков, на которые можно распространять уравнение Бернулли, и предложить способ учета неравномерности распределения скоростей в живых сечениях. Это достигается путем установления поправочного коэффициента, которым является коэффициент Кориолиса.

Коэффициент Кориолиса (α) равен отношению кинетической энергии, определенной по мгновенным скоростям, к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости, и учитывает неравномерность распределения скоростей по живому сечению потока.

Коэффициент Кориолиса определяется опытным путем и зависит от режима течения жидкости. Его значения находятся в интервале от 1 до 1,1.

Тогда уравнение Д. Бернулли, с учетом коэффициента Кориолиса, для целого потока вязкой жидкости получает вид

. (3.16)

Правила выбора сечений

1. Нулевое сечение (плоскость сравнения) «00», обычно совмещают с осью трубопровода, отверстия или насадка.

2. Сечения 1 и 2 проводятся перпендикулярно к вектору скорости или перпендикулярно к потоку жидкости и назначаются по ходу движения жидкости.

3. Сечение 1-1 выбирается таким образом, чтобы все составляющие члены уравнения Бернулли были известны (обычно совпадает с поверхностью жидкости в баке, резервуаре или водоеме).

4. Сечение 2-2 обычно выбирают на выходе из трубопровода, насадка или отверстия.

5. Величины давлений входящих в левую и правую части уравнения Бернулли должны находиться в одной системе отсчета ( система абсолютного, избыточного или вакуумного давлений).

ДИАГРАММЫ БЕРНУЛЛИ

Приведем пример использования уравнения Бернулли на примерах потоков идеальной и реальной жидкостей, движущихся через трубопровод.

Выберем два поперечных сечения 1-1 и 2-2 (рис. 3.5). Установим в центрах тяжести сечений 1-1 и 2-2 две вертикальные открытые с обеих сторон трубки.

Прямые трубки называются пьезометрическими; в них жидкость поднимается на высоту, отвечающую гидростатическому давлению в точках погружения , т.е. эти приборы измеряют пьезометрические напоры и

.

В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку (трубках Пито), уровень жидкости будет выше, чем в пьезометрических, т.к. трубки Пито показывают сумму пьезометрических и скоростных напоров и .

Линия Е-Е проведенная по горизонту жидкости в трубках Пито называется напорной линией (линией гидродинамического напора). Для идеальных жидкостей она всегда горизонтальна. Для реальных жидкостей напорная линия всегда идет по нисходящей.

Линия Р-Р называется пьезометрической линией. Для идеальных и реальных жидкостей пьезометрическая линия может быть горизонтальной или иметь уклон как вверх по направлению движения жидкости, так и вниз (в зависимости от изменения площади живого сечения потока).

Фигура, ограниченная пьезометрической линией и плоскостью сравнения «00», представляет собой эпюру изменения статического напора вдоль потока. Фигура, заключенная между напорной и пьезометрической линиями характеризует изменение скоростного напора вдоль потока.

Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; Нарушение авторского права страницы

Ссылка на основную публикацию
Унитаз санита аттика отзывы
Перед тем как покупать Sanita Аттика хочется прочитать о нём отзывы владельцев, тех людей, кто уже купил и пользуется товаром...
Требовалось написать программу при выполнении
Требовалось написать программу, при выполнении которой с клавиатуры считывается натуральное число N, не превосходящее 109, и выводится максимальная цифра этого...
Трафареты шрифтов для вырезания из бумаги распечатать
Трафареты и шаблоны букв русского алфавита для вырезания из бумаги помогут вам красиво и быстро нанести надпись на любую поверхность....
Упал iphone полосы на экране
Узнайте, что делать. Если экран слишком чувствителен или не всегда реагирует на касания Перезапустите устройство. Убедитесь, что экран устройства чист,...
Adblock detector