Ядро линейного оператора пример

Ядро линейного оператора пример

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker, т. е.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker = d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im, т. е. Im = <(х) | хV>.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x](3) найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker = <f | f = c> и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im = R[x](2) и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M()[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e1), (e2), …, (en). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Читайте также:  Сериал вызов 3 сезон

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается  –1 .

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(), при этом M( –1 ) = (M()) –1 .

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M() = . Так как = 0 то матрица M() необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M() = , обратима, так как |M()| ≠ 0. (M()) –1 = , поэтому  –1 = (2х1х2, –3х1 + 2х2).

Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Множество называется ядром линейного оператора и обозначается kerA

Определение. Множество векторов , являющихся значениями этого оператора называется образом линейного оператора и обозначается imA

Размерность образа линейного оператора называется рангом , а размерность ядра- дефектом линейного оператора .

Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .

Теорема: «О размерности ядра и образа».

Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ

Матрица линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A из пространства , где – линейные векторные пространства размерности n и m над общим полем P.

Фиксируем какой-нибудь базис, в пространстве и базис

В силу линейности оператора A:

, поэтому A полностью определяется своим действием над базисными векторами .

Разложим образы базисных векторов по базису пространства образа, т.е. базисные векторы пространства по базису

где j=1, (от 1 до n)

⇒ равенство в матричной форме:

Матрица возникшая справа, называется матрицей линейного оператора А в паре базисов и

Читайте также:  Топ 5 лучших программ для снятия видео

Матрица, составленная из координатных столбцов векторов ,называется матрицей линейного оператора.

Пример: Пусть A: L – оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени

Обратный оператор.

Оператор A из L→ называется обратным, если существует оператор B: →L, такой что A(B(y))=y, ∀y ∈ ; B(A(x))=x, ∀x∈L, при этом B называется обратным оператором для A.

Если линейный оператор обратим, то обратный оператор так же линейный.

Теорема. Пусть A:L→ , линейный оператор, а L и – конечномерные пространства одинаковой размерности, то А является обратимым оператором, тогда и только тогда, когда ядро оператора А состоит из нулевого вектора: kerA =

Замечание. Если линейный оператор A: L→ , обратим, то обязательно множество является образом оператора А = imA

Замечание. В тоже время условие , равное образу А ( = imA) не всегда говорят о том, что оператор А обратим.

Если не вырожденный линейный оператор А пространства L в некотором базисе задается матрицей А (так же не вырождена), то обратный оператор задается в этом же базисе матрицей .

Ортогональные матрицы.

Пусть имеется евклидово n-мерное пространство .

Определение. Матрица ортонормированной системы векторов называется ортогональной. Для таких ортонормированных векторов имеем

Единичные матрицы ортогональны. Например, ортогональными являются следующие единичные матрицы:

.

Теорема. Для того чтобы матрица А была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

□ Если обозначить , то элементы этой матрицы будут равны

элементы транспонированной матрицы. Но это означает, что или . И обратно, если , имеем равенство

Что означает ортогональность матрицы А. ■

1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен1.

2. Ортогональная матрица – невырожденная.

3. Произведение двух ортогональных матриц – ортогональная матрица.

4. Необходимым и достаточным условием ортогональности матрицы А является .

5. При транспонировании ортогональной матрицы получается ортогональная матрица.

Читайте также:  Как убрать оповещения опера

6. Матрица, обратная ортогональной, тоже ортогональна.

Но сумма ортогональных матриц не является ортогональной.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Определение. Ортогональный оператор – это оператор евклидова пространства, матрица которого ортогональна в некотором ортонормированном базисе.

Теорема. Линейный оператор евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

□ По предыдущей теореме матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной, следовательно, линейный оператор, соответствующий данной матрицы, ортогонален. И обратно, если имеется линейный оператор в некотором ортонормированном базисе с ортогональной матрицей, то из ортогональности следует, что

Где каждый из векторов второго базиса равен ( ), коэффициенты этого разложения составляют k-ый столбец ортогональной матрицы перехода. Отсюда следует ортонормированность базиса . ■

Известно, что ортогональный оператор не меняет скалярного произведения векторов (следует из выражения скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе), а следовательно, не меняется норма вектора и угол между двумя векторами.

Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Множество называется ядром линейного оператора и обозначается kerA

Определение. Множество векторов , являющихся значениями этого оператора называется образом линейного оператора и обозначается imA

Размерность образа линейного оператора называется рангом , а размерность ядра- дефектом линейного оператора .

Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .

Теорема: «О размерности ядра и образа».

Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Ссылка на основную публикацию
Этот номер недавно использовался вконтакте сколько ждать
При регистрации страницы или привязке номера ВК пишет: «Этот номер недавно использовался» или «К этому номеру уже привязана страница. Пожалуйста,...
Шарик равноускоренно скатывается по наклонной плоскости
За каждую секунду, путь пройденный шариком,увеличивается на 20см. Следовательно за 4 секунду он пройдет 70см. Ответ:(2) Если ответ по предмету...
Шарнирная стойка для дрели
Стойка для дрели с тисками FIT 37861 Стойка для дрели Калибр 96203 Стойка для дрели RedVerg DS-43 Стойка для дрели...
Эффект памяти аккумуляторов что это
Wikimedia Foundation . 2010 . Смотреть что такое "Эффект памяти аккумулятора" в других словарях: Эффект памяти — аккумулятора Эффект памяти...
Adblock detector