Функции комплексного переменного примеры решения

Функции комплексного переменного примеры решения

В этом разделе вы найдете готовые задания по разным разделам ТФКП (теории функций комплексной переменной): проверка аналитичности функций, восстановление функции по одной из частей (мнимой или действительной), разложение в ряд, вычисление вычетов, нахождение интегралов разных типов.

Если вам нужна помощь в выполнении своей домашней работы по ТФКП, мы будем рады помочь: стоимость задания от 80 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление, отзывы. Узнайте подробнее о том, как мы выполняем задания по ТФКП на заказ.

Еще полезные ссылки для изучения:

Гармонические (аналитические) функции. Решения задач

Задача 1. Показать, что данные функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ гармонические. Найти по заданной функции $u(x,y)$ или $v(x,y)$ ей сопряженную: $u(x,y)=cos x ch y, v(0,0)=0.$

Задача 2. Исследуйте на моногенность и голоморфность $f(z) = (Re z)^2$.

Задача 3. Найти аналитическую функцию $f(z)$, если задана ее мнимая часть $Im f(z)=10xy-6y$, $f(1/5)=-1.$

Задача 4. Доказать, что $f(z)=sin(z/3)$ — аналитическая функция и найти производную в точке $z_0=pi i/6.$

Ряды Лорана и Тэйлора. Решения задач

Задача 5. Разложить функцию $f(z)$ по степеням $(z-z_0)$ в ряд Тейлора или Лорана во всех областях на плоскости, где такое разложение возможно. $$f(z)=frac, z_0=1. $$

Задача 6. Разложить данную функцию в ряд Лорана в заданном кольце комплексной плоскости. Указать область сходимости полученного ряда: $$f(z)=frac<1>, 5lt |z+5i| lt 8. $$

Задача 7. Определить круг сходимости и исследовать сходимость в данных точках. $$Sigma_^<infty>frac<2^n (z-2)^n><(n+1)^2>, z=0, z=2+i/2, z=2.1. $$

Вычеты функции и их применение. Решения задач

Задача 8. Найти вычеты функции относительно её полюсов: $$ f(z) =frac<1>. $$

Задача 9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов: $$int_ frac<4><(z^2+4)^2>dz, quad C=< z: |z-i|=2>. $$

Задача 11. Вычислить контурный интеграл с помощью основной теоремы Коши о вычетах: $$int_ frac< an z+2><4z^2+pi z>dz, quad L=< z: |z+1|=2>. $$

Интегралы от функций комплексного переменного. Решения задач

Задача 12. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: $$int_ (2z+1)dz, quad AB:< y=x^2, 0 le x le 1>, quad BC ext< — отрезок>, z_B=1+i, z_C=i. $$

Конформные отображения. Решения задач

Задача 13. Найдите взаимно-однозначное конформное отображение, переводящее $D_1$ на $D_2$: $$D_1=<|z| lt 1>, quad D_2=<|z| lt 1, Im z gt 0>. $$

Функция комплексной переменной

Определение функции комплексной переменной ничем не отличается от общего определения функциональной зависимости. Напомним, что областью на плоскости мы называем любое открытое связное множество точек этой плоскости. Область односвязна, если любая подобласть, ограниченная непрерывной замкнутой самонепересекающейся кривой, лежащей в этой области, целиком принадлежит области.

Читайте также:  Как узнать параметры видеокарты на ноутбуке

Геометрическое изображнение ФКП. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Предел ФКП. Пусть функция w = f(z) определена в проколотой окрестности точки z0 = x0 + iy0. Комплексное число w0 = u0 + iv0 называется пределом функции при , если для любой -окрестности ( >0) точки w0 найдётся такая проколотая -окрестность точки z0, что для всех значения f(z) принадлежат . Другими словами, если z0 — собственная точка плоскости, то для любого >0 должно существовать такое >0, что из неравенства следует неравенство (аналогично расписывается определение для несобственной точки ). Таким образом, на языке — определение предела ФКП полностью совпадает с определением предела функции одной действительной переменной; обозначается предел, как обычно: .

Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть w = f(z) определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции w = f(z) в точке z называется предел

Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале . Функция, имеющая конечную производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной f’(z) не сводится к существованию частных производных функций u(x, y) и v(x, y), а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия — аналитичности функции в точке и в области.

Гармоничность действительной и мнимой частей дифференцируемой функции. Пара гармонических функций, связанных соотношениями Коши-Римана, называется сопряжёнными функциями.

Легко доказать, что для любой гармонической в односвязной области D функции u(x, y) существует единственная (с точностью до постоянного слагаемого) сопряжённая с ней гармоническая функция v(x, y), т.е. такая функция, что w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y) — аналитическая функция; и наоборот, для любой гармонической v(x, y) существует сопряжённая с ней гармоническая u(x, y).

Ряды с комплексными членами Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядовничем не отличаются от действительного случая.

Читайте также:  Метод нелдера мида алгоритм

Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел z1, z2, z3, …, zn, … .Действительную часть числа zn будем обозначать an, мнимую — bn

(т.е. zn = an + i bn, n = 1, 2, 3, …).

Степенные комплексные ряды. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида , где a0, a1, a2, …, an, — постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда), z0 — фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости — точку z0. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.

Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

Степенная функция , — натуральное. Определена, однозначна и аналитична на всей плоскости С. Действительно, при n =1 w = x + iy, u = x, v = y, u’x = 1 = v’y, u’y = 0 = -v’x,

w’ = u’x + iv’x = 1 (или, непосредственно, ). Далее, дифференцируема как произведение дифференцируемых функций. Её производная w’ = nzn-1 отлична от нуля при , следовательно, отображение w = zn при n > 1 конформно в этих точках. (Углы с вершиной в точке z = 0 увеличиваются в n раз). Отображение неоднолистно при n > 1 на всей плоскости С; для его однолистности в некоторой области необходимо, чтобы область помещалась в некоторый сектор раствора .

Интегрирование функций комплексной переменной. Интеграл от ФКП

Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.

Теорема Коши для односвязной области. Если D — односвязная ограниченная область, w = f ( z) — аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от f ( z) по L равен нулю: . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.

Первообразная аналитической функции. Если функция w = f ( z) аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку z0, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать .

Интеграл ( ). Возможные случаи: 1. Точка z0 лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.

Читайте также:  Пароль на вход в firefox

Если функция f(z) имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции f(z) аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) — аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L(если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).

Разбор типового варианта

Найти модуль и аргумент чисел и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

Вычислить значение функции в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа

Проверить, может ли функция быть действительной частью некоторой аналитической функции , если да – восстановить ее, при условии .

Найти все лорановские разложения данной функции по степеням . Указать главную и правильную части ряда.

Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности особой точки .

Вычислить интегралы от функции комплексного переменного

Фильтрация

  • Математика и статистика
  • Биология
  • Системы связи
  • Глубокое и машинное обучение(ИИ)
  • Встраиваемые системы
  • Изображения и видео
  • Автоматизация испытаний
  • Робототехника и беспилотники
  • ПЛИС и СнК
  • Радиолокация
  • Системы управления
  • Финансы
  • Цифровая обработка сигналов
  • Электропривод и силовая электроника
  • Другое
  • Публикации
  • Неотвеченные вопросы
  • Отвеченные вопросы

Сортировка

  • Моя лента
  • Вопросы
  • Статьи
  • Опубликовать
  • Спросить
  • вопрос
  • 11.04.2020

Смешанное возбуждение ДПТ

  • вопрос
  • 11.04.2020

Вывод координат XY по заданной траектории

  • вопрос
  • 10.04.2020

Cистема управления 3D-принтером с обратной связью

  • вопрос
  • 09.04.2020

Blockset motor control

  • вопрос
  • 09.04.2020

Хранилище сигналов различного типа

  • вопрос
  • 09.04.2020

Функция тока

  • Публикация
  • 09.04.2020

Доклад "Прототипирование моделей РЛС в MATLAB", Концерн ВКО "Алмаз-Антей"

Прототипирование моделей РЛС с модельно-ориентированным проектированием:

  • Генерация сигналов
  • Моделирование радиотракта
  • Антенная система
  • Цифовая обработка сигналов
  • Траекторная отработка
  • Моделирование внешних условий
  • Публикация
  • 09.04.2020

Доклад "Опыт сокращения проектных сроков за счет генерации кода для серийной аппаратуры", ЦИТМ Экспонента

Применение кастомных пакетов поддержки элементной базы существенно упрощает разработку встраиваемых систем:

  • Автоматизация on-target тестирования
  • Автоматическая генерация эффективного кода
  • Профилирование кода
  • Поддержка периферии отладочных плат
Ссылка на основную публикацию
Фото на зеленом фоне хромакей
Зеленый фон или «хромакей» применяют при съемках для последующей его замены на любой другой. Хромакей может быть и другого цвета,...
Файловая система для операционной системы windows
Вы знаете, что Windows Phone использует NTFS? Почему большинство карт памяти и почти все USB-накопители по-прежнему используют старый-добрый FAT? Почему...
Файлы в карантине что с ними делать
содержит все нейтрализованные вредоносные программы в корзине в течение определенного периода времени до того момента, как применит к ним соответствующие...
Фото на скайп для пацанов
Крутые фотографии пацанов на аву: фото без лица, в маске анонима, крутые пацаны с битами и с пистолетами. Крутые фото...
Adblock detector