Формула выражающая координаты точки пересечения медиан треугольника

Формула выражающая координаты точки пересечения медиан треугольника

Как найти точку пересечения медиан треугольника, зная координаты его вершин?

Поскольку все медианы треугольника пересекаются в одной точке, достаточно составить уравнения двух медиан и найти координаты их точки пересечения.

Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1).

Обозначим середины сторон BC и AC через A1 и B1 соответственно. По формулам координат середины отрезка

Составим уравнения медиан AA1 и BB1.

Уравнение медианы AA1 можно найти как уравнение прямой, проходящей через две точки A(-4;-1) и A1(1;-1).

то есть уравнение прямой AA1 y= -1.

B(0;-3), B1(-1;0). Найдём уравнение медианы BB1.

откуда уравнение прямой BB1 y= -3x-3.

Координаты точки пересечения прямых AA1 и BB1 ищем как решение системы уравнений

Поскольку все медианы медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины, можно найти координаты концов любой медианы, а затем точку, которая делит медиану в отношении 2:1, начиная отсчёт от точки, которая является вершиной треугольника.

Например, в условиях предыдущей задачи — найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках A(-4;-1), B(0;-3), C(2;1),

зная координаты A1(1;-1), найдём координаты точки M. Точка M пересечения медиан треугольника делит отрезок AA1 в отношении 2:1, считая от точки A.

Известно, что для любой точки O верно равенство

= ( + + ).

Пусть O(0;0) — начало координат. Тогда координаты векторов , , и есть координаты точек A, B, C и M соответственно. Следовательно, указанное выше векторное равенство равносильно двум числовым равенствам:

x = , y = .

Известно, что медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому, если D(x4;y4) — середина отрезка BC, то AM : MD = 2 : 1.

Поскольку точка M(x;y) делит отрезок с концами в точках A(x1;y1) и D(x4;y4) в отношении 2:1, считая от точки A, то по теореме о пропорциональных отрезках проекция точки M на ось OX делит проекцию отрезка AD на эту ось в том же отношении, т.е.

Читайте также:  Что означают смайлики в фейсбук расшифровка

= 2.

Отсюда находим, что

x = .

Аналогично находим, что

y = .

x4 = , y = .

Окончательно получим, что

x = = = ,

y = = = .

уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
уравнение медианы — это (x1,y1) — координата третьей вершины (например, С) ,
x2=(xA+xB)/2, y2=(yA+yB)/2
то же самое делаем с другой медианой (все три пересекутся в одной точке, поэтому неважно, какую выбрать)
чтобы две прямые пересеклись — надо решить систему уравнений:

A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN — медианы треугольника, O — точка пересечения медиан.
Так как M — середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2×1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2×1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2×1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 — x1; y0 — y1)
Значит

x0 — x1 = (x2 + x3 — 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3

y0 — y1 = (y2 + y3 — 2 * y1)/3 => y0 = (y1 + y2 + y3)/3

уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
уравнение медианы — это (x1,y1) — координата третьей вершины (например, С) ,
x2=(xA+xB)/2, y2=(yA+yB)/2
то же самое делаем с другой медианой (все три пересекутся в одной точке, поэтому неважно, какую выбрать)
чтобы две прямые пересеклись — надо решить систему уравнений:

или такПусть координаты таковы:
A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN — медианы треугольника, O — точка пересечения медиан.
Так как M — середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2×1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2×1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2×1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 — x1; y0 — y1)
Значит
x0 — x1 = (x2 + x3 — 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3
y0 — y1 = (y2 + y3 — 2 * y1)/3 => y0 = (y1 + y2 + y3)/3A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
AM, BN — медианы треугольника, O — точка пересечения медиан.
Так как M — середина BC, то ее координаты:
M((x2+x3)/2;(y2+y3)/2)
Находим координаты вектора AM
AM = ((x2+x3)/2-x1;(y2+y3)/2-y1)
AM = ((x2+x3-2×1)/2;(y2+y3-2y1)/2)
Дальше используем свойство, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то есть AO = 2 * OM,
Тогда
AO = 2/3 * AM
Значит вектора AO
AO = (2/3 * (x2+x3-2×1)/2;2/3 * (y2+y3-2y1)/2)
AO = ((x2+x3-2×1)/3;(y2+y3-2y1)/3)
Осталось найти координаты точки O(x0;y0)
AO = (x0 — x1; y0 — y1)
Значит

Читайте также:  Радовался как ребенок запятая

x0 — x1 = (x2 + x3 — 2 * x1)/3 => x0 = (x1 + x2 + x3)/3

y0 — y1 = (y2 + y3 — 2 * y1)/3 => y0 = (y1 + y2 + y3)/3

уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки:
(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)
уравнение медианы — это (x1,y1) — координата третьей вершины (например, С) ,
x2=(xA+xB)/2, y2=(yA+yB)/2
то же самое делаем с другой медианой (все три пересекутся в одной точке, поэтому неважно, какую выбрать)
чтобы две прямые пересеклись — надо решить систему уравнений:

Ссылка на основную публикацию
Файловая система для операционной системы windows
Вы знаете, что Windows Phone использует NTFS? Почему большинство карт памяти и почти все USB-накопители по-прежнему используют старый-добрый FAT? Почему...
Унитаз санита аттика отзывы
Перед тем как покупать Sanita Аттика хочется прочитать о нём отзывы владельцев, тех людей, кто уже купил и пользуется товаром...
Упал iphone полосы на экране
Узнайте, что делать. Если экран слишком чувствителен или не всегда реагирует на касания Перезапустите устройство. Убедитесь, что экран устройства чист,...
Файлы в карантине что с ними делать
содержит все нейтрализованные вредоносные программы в корзине в течение определенного периода времени до того момента, как применит к ним соответствующие...
Adblock detector