Формула длины медианы через три стороны

Формула длины медианы через три стороны

Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.

Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.

M — медиана, отрезок |AO|

c — сторона на которую ложится медиана

a, b — стороны треугольника

γ — угол CAB

Формула длины медианы через три стороны, ( M ):

Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, ( M ):

Определение

Медиана – это отрезок, соединяющий высоту и середину противоположной стороны. В треугольнике три вершины, а значит и медианы три. Медианы не всегда совпадают с высотами или биссектрисами. Чаще всего это отдельные отрезки.

Свойства медиан

  • Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с высотой и биссектрисой. В равностороннем треугольнике все медианы совпадают с биссектрисами и высотами.
  • Все медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • Медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы, на 6 равновеликих треугольника.

Рис. 1. Три медианы образуют 6 равновеликих треугольника.

  • Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.

Задачи

Все эти свойства несложно запомнить, они легко закрепляются на практике. Для большего понимания темы, решим несколько задач:

  • В прямоугольном треугольнике известны катеты, которые равны a=3 и b=4. Найти значение медианы m, проведенной к гипотенузе c.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

Для того, чтобы найти значение медианы, нам необходимо найти гипотенузу, так как медиана, проведенная к гипотенузе равна ее половине. Гипотенуза через теорему Пифагора: $$a^2+b^2=c^2$$

Найдем значение медианы: $$m==<5over2>=2,5$$ – получившееся число и есть значение медианы.

Значения медиан в треугольнике не равны. Поэтому нужно обязательно представлять, какую именно величину необходимо найти.

  • В треугольнике известны значения сторон : a=7; b=8; c=9. Найти значение медианы, опущенной к стороне b.
Читайте также:  Что делать если образ уже замонтирован

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Чтобы решить эту задачу нужно воспользоваться одной из трех формул для нахождения медианы по сторонам треугольника:

Как видно, главное здесь запомнить коэффициент при скобках и знаки у значения сторон. Знаки запомнить проще всего – вычитается всегда сторона, к которой опущена медиана. В нашем случае это b, но может быть любая другая.

Подставим значения в формулу и найдем величину медианы: $$m=sqrt<<1over2>*(a^2+c^2-b^2)>$$

$$m=sqrt<<1over2>*(49+81-64)>=sqrt<33>$$ – оставим результат в виде корня.

  • В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию равна 8, а само основание 6. Вместе с оставшимися двумя, эта медиана делит треугольник на 6 треугольников. Найти площадь каждого из них.

Медианы, разбивают треугольник на шесть равновеликих. Значит, площади малых треугольников будут равны между собой. Достаточно найти площадь большего и поделить ее на 6.

Дана медиана, проведенная к основанию, в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой и высотой. Значит в треугольнике известны основание и высота. Можно найти площадь.

Площадь каждого из малых треугольников: $$<24over6>=4$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое медиана. Определили свойства медианы, и нашли решение типовых задач. Поговорили о базовых ошибках и разобрались как просто и быстро запомнить формулу нахождения медианы через стороны треугольника.

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Читайте также:  Облачное хранилище бесплатно 1 тб на русском

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Ссылка на основную публикацию
Файловая система для операционной системы windows
Вы знаете, что Windows Phone использует NTFS? Почему большинство карт памяти и почти все USB-накопители по-прежнему используют старый-добрый FAT? Почему...
Унитаз санита аттика отзывы
Перед тем как покупать Sanita Аттика хочется прочитать о нём отзывы владельцев, тех людей, кто уже купил и пользуется товаром...
Упал iphone полосы на экране
Узнайте, что делать. Если экран слишком чувствителен или не всегда реагирует на касания Перезапустите устройство. Убедитесь, что экран устройства чист,...
Файлы в карантине что с ними делать
содержит все нейтрализованные вредоносные программы в корзине в течение определенного периода времени до того момента, как применит к ним соответствующие...
Adblock detector