Фигуры лиссажу на осциллографе

Фигуры лиссажу на осциллографе

1.1. Подготовка приборов к работе:

включите тумблеры “СЕТЬ” низкочастотных генераторов сигналов Г3-109 и поверните ручки “РЕГУЛИРОВКА ВЫХ” против часовой стрелки до упора;

выключатель “ВКЛ” осциллографа С1-83 выдвините на себя до упора;

поставьте кнопочный переключатель, находящийся на левой части лицевой панели осциллографа, в положение , а кнопочный переключатель, находящийся на правой части панели, в положение X-Y;

убедитесь, что переключатели находятся в нажатом положении, затем, поворачивая ручки этих переключателей, установите их в среднее положение;

переключатели каналов I и II поставьте в положение^(входы осциллографа отключены от генераторов);

получив изображение точки на экране, установите минимальную яркость, достаточную для наблюдения; это можно осуществить ручкой «☼»;

с помощью ручки «Ä» (контрастность изображения) получите изображение точки в виде правильного кружка;

ручкой , находящейся слева внизу панели, и ручкой

находящейся справа вверху панели, переместите точку в центр экрана.

1.2. Получение фигур лиссажу и определение с их помощью частоты синусоидальных сигналов:

на генераторе Г3-109, сигнал с которого идет на канал I (вход Х, горизонтальное отклонение луча) установите частоту в пределах 20…50 Гц (переключатель “МНОЖИТЕЛЬ ЧАСТОТЫ” должен находиться в положении I);

переключатели “V/ДЕЛ” каналов I и II осциллографа установите в положение “0,1”, а ручки плавной регулировки, находящиеся на переключателях, поверните по часовой стрелки до упора (в этом случае цена одного большого деления составляет по осям X и Y 0,1*10 = 1 В);

установите переключатель канала I в положение(вход по переменной и постоянной составляющим сигнала);

на генераторе Г3-109 (сигнал с которого подается на X-вход) установите переключатель выхода сигнала в положение 1,5 В и с помощью ручки “РЕГУЛИРОВКА ВЫХ” разверните изображение сигнала на 6 больших делений;

установите переключатель канала II в положение;

на генераторе Г3-109, сигнал с которого подается на Y-вход, установите ту частоту, при которой на экране наблюдается изображение фигуры Лиссажу, плавно переходящее от круга через эллипс к прямой линии и обратно (скорость изменения формы фигуры можно уменьшить, подстраивая частоту одного из генераторов). Разверните изображение фигуры по вертекали также на 6 больших делений;

Меняя частоту на одном из генераторов в кратном соотношении, получите различные фигуры Лиссажу изображённые на рис. 5.

1.3. Обработка результатов

Пример получения фигур Лиссажу при сложении колебаний различных частот приведен на рис.6.

Для таких фигур справедливо следующее свойство: отношение частот гармонических сигналов fx/fyравно отношению максимального числа точек пересечения данной фигуры с вертикальной и горизонтальной осями ny/nx.

1. подайте на входыYиXосциллографа синусоидальные напряжения от двух генераторов синусоидального напряжения.

2. Меняя частоту одного из генераторов, получите на экране неподвижную фигуру Лиссажу.

3. Зарисуйте фигуру, наблюдаемую на экране осциллографа, и проверьте для нее соотношение

Для примера рассмотрим фигуру Лиссажу, представленную на рис. 5. Максимальное число точек пересечения с осью OX(nx) равно 4, а максимальное число точек пересечения с осьюOY(ny) равно 2. По лимбу генераторов частот зафиксируйте значенияfx иfy.

5. Получите еще три фигуры Лиссажу для других пар частот генераторов и проверьте для них соотношение

ГРАДУИРОВКА ЗВУКОВОГО ГЕНЕРАТОРА

Для определения частоты неизвестного гармонического колебания часто используется метод фигур Лиссажу, который заключается в следующем. Неизвестное исследуемое синусоидальное колебание складывают с взаимно перпендикулярным ему синусоидальным колебанием известной частоты, в результате чего получаются кривые сложной формы, называемые фигурами Лиссажу, по общему виду которых можно определить частоту неизвестного колебания и в некоторых случаях разность фаз.

Рассмотрим два взаимно перпендикулярных колебания Х и У с частотами wх = w и wy = w. Тогда

, и (1)

где х, у — амплитудные значения Х и У;

j — начальная разность фаз между колебаниями;

n — номер гармоники.

Система уравнений (1) представляет собой уравнение плоской кривой, являющейся результатом сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, заданной в параметрической форме.

Читайте также:  Как обновить гугл хром до последней версии

Определим уравнение этой кривой в явном виде, исключая из системы уравнений (1) время. Несложные математические преобразования приводят к уравнению вида (2).

Разлагая правую часть уравнения (2) по биному Ньютона и приравнивая действительные части слева и справа, получаем уравнение кривой в явном виде, являющейся траекторией колеблющейся точки. Эта кривая называется фигурой Лиссажу.

(2)

Пример. Рассмотрим сложение колебаний с одинаковыми частотами (n = 1). Тогда уравнение (2) примет вид

, (3)

. (4)

Уравнение (4) является уравнением эллипса. Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1. Колебания Х и У происходят в одинаковых фазах, т.е. Y=0 ® j = 0. Тогда уравнение (4) примет вид

,

т.е. эллипс вырождается в прямую (рис.1).

Рисунок 1 Рисунок 2

2. При разности фаз j = p уравнение (4) станет уравнением прямой (рисунок 2)

.

3. При j = p/2 получим уравнение эллипса (рис.3)

.

Рисунок 3 Рисунок 4

4. В случае произвольных значений j фигура Лиссажу будет иметь вид эллипса, как показано на рис. 4.

Таким образом, при n = 1 суммарное колебание происходит в общем случае по эллипсу. Вид эллипса определяется разностью начальных фаз j.

Более сложные кривые получаются при неравных частотах (n ¹ 1). Если не является рациональным числом, то кривая будет незамкнутой (неповторяющейся) и с течением времени заполнит весь прямоугольник со сторонами 2х и 2y.

Если n — рациональное число, т.е. , где nx и ny — целые числа, то уравнение (2) будет определять различные кривые, вид которых зависит от значения n и разности начальных фаз j. Вид различных фаз показан на рис. 5.

,

где wx, nx,Tx и wy, ny, Ty — cоответственно частоты и периоды колебаний в направлениях Х и У. Тогда nyTx=nxTy=Dt, где Dt1 — промежуток времени, за который точка совершит nx полных колебаний в направлении оси Y и ny полных колебаний в направлении оси Х. За следующий промежуток времени Dt = Dt1 колебания в точности повторяются.

В результате колебания будут накладываться друг на друга и дадут замкнутую устойчивую фигуру Лиссажу.

Рисунок 5

4 ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

1 Электронный осциллограф.

2 Звуковой генератор.

3 Лабораторный автотрансформатор с вольтметром (ЛАТР).

5 ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

В настоящей работе сравнение частот производится с помощью электронного осциллографа.

Для этого на У-вход осциллографа подается синусоидальное напряжение от звукового генератора, а на Х-вход — синусоидальное напряжение с частотой w = 2pn (n = 50 Гц) от клеммы «контрольный сигнал» на осциллографе. (Синусоидальное напряжение с n = 50 Гц можно подавать на Х-вход от сети переменного тока через ЛАТР).

В результате сложения двух взаимно перпендикулярных напряжений с частотами , где nx и ny целые числа, на осциллографе получится замкнутая устойчивая кривая (фигура Лиссажу). Тогда

. (5)

Для определения отношения рекомендуется использовать следующее правило. Проводятся взаимно перпендикулярные координатные оси Х и У через полученную фигуру Лиссажу. Подсчитываем число точек пересечения кривой с осью Х (nx) и с осью У (ny).

В случае, когда ось проходит через точку пересечения ветвей кривой (точка А, рис. 7), при подсчете ее считают дважды. Для фигуры Лиссажу, изображенной на рис. 7: nx = 3; ny = 4, т.е.

.

1. Собрать схему в соответствии с рисунком 6.

Рисунок 6 Рисунок 7

2. Выключить генератор развертки осциллографа (рукоятка «диапазон частот» в положение «выкл.») и устанавливают рукоятки усиления по осям Х и У на ноль. Рукоятка ЗГ «амплитуда» также устанавливается на ноль.

3.Включить в цепь звуковой генератор, осциллограф и ЛАТР (ЛАТР включается в цепь, если у осциллографа нет «Контрольного сигнала»).

4. Сфокусировать световое пятно на экране осциллографа.

5. Увеличивая амплитуду сигнала от звукового генератора и меняя его частоту (поворотом лимба генератора), получить ряд фигур Лиссажу и по их форме определить частоту сигнала звукового генератора при данном положении его лимба.

6. Зарисовать наблюдаемые фигуры Лиссажу как показано на рис. 5 и записать в таблицу найденную частоту и показания лимба ЗГ.

Читайте также:  Где отправить факс в чите

7. Построить градуировочный график, откладывая по оси абсцисс деления ЗГ, а по оси ординат соответствующие частоты.

| следующая лекция ==>
Обработка результатов измерений. Идея метода определения удельного заряда электрона принадлежит известному английскому физику Дж | в последовательном колебательном контуре

Дата добавления: 2016-01-03 ; просмотров: 3907 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Самые простые колебания тела — это колебания, при которых отклонение х тела от положения равновесия изменяется по закону

где а — амплитуда, ω — частота, φ — начальная фаза колебаний.

Такие колебания называются гармоническими. Гармонические колебания совершают математический маятник, грузик на пружине, напряжение в электрическом контуре.

В этой статье мы рассмотрим случай, когда тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях. Если оба колебания происходят вдоль одной прямой, то уравнение движения тела будет представлено суммой уравнений двух движений:

Нетрудно построить график смещения тела от положения равновесия в зависимости от времени. Для этого нужно сложить ординаты кривых, соответствующих первому и второму движениям. На рис. 85 показан пример сложения двух гармонических колебаний (сплошные синусоиды). Пунктирная линия соответствует результирующему колебанию. Оно уже не является гармоническим.


Рис. 85

Более сложные траектории получаются при сложении колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Примером такого колебания может служить движение тела, изображенного на рис. 86. В этом случае вид траекторий зависит от соотношения частот, амплитуд и фаз взаимно перпендикулярных колебаний.


Рис. 86

Эти траектории, как мы уже знаем, называют фигурами Лиссажу. Установка, использованная Лиссажу, показана на рис. 87. Камертон Т’ колеблется в горизонтальной плоскости, камертон Т — в вертикальной. Луч света проходит через линзу и попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону Т’, отражается им, попадает на зеркальце, прикрепленное к камертону Г, и после вторичного отражения попадает на экран. При колебании только одного камертона светлое пятно на экране колеблется вдоль прямой линии. Если колеблются оба камертона, пятно может описывать замысловатые траектории.


Рис. 87

Траектория движения тела в том случае, когда оно одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, описывается системой уравнение

где x и y — проекции смещения тела на осях X и Y.

Допустим для простоты, что φ1 = φ2 = 0 и ω1 = ω2 = ω. Тогда

Это означает, что следовательно, соотношения (2) описывают отрезок прямой. Угол наклона α к оси X определяется уравнением

Пусть теперь Тогда

Разберем сначала самый простой случай, когда A1 = A2, φ’1 = φ2 = 0 и ω1 = ω2 = ω, т. е.

Точка с координатами x и y, определяемыми этими уравнениями, описывает окружность радиуса A. Действительно, x 2 +y 2 = A 2 cos 2 ωt + A 2 sin 2 ωt = A 2 . А это и означает, что траектория движения — окружность.

Пусть теперь A1≠A2. Построим траекторию движения для случая A1 = 1, A2 = 2. В момент максимального отклонения x = A1 = 1, т. е. cos ωt = 1, ωt = 0 и, следовательно, y = 2 sin ωt = 0. Аналогично при x = 0, y = 2, при и так далее.

Построив по этим координатам график, мы получим эллипс, большая полуось которого равна A2, а малая — A1, т.е. эллипс вытянут по оси Y (рис. 88, а) * .

* ( То, что система уравнений

описывает эллипс, можно показать и аналитически:

т. е. точка с координатами хну лежит на эллипсе.)


Рис. 88

Нетрудно показать, что при A1 = 2 и A2 = 1 мы получим эллипс, вытянутый по оси X (рис. 88, б).

Таким образом, ясно, что, меняя соотношение амплитуд, можно получать различные эллипсы.

Пусть теперь ω1 = 2ω, ω2 = ω, φ’1 = 0 и φ’2 = 0. Тогда система уравнений (3) приобретает вид

Преобразуем уравнение для x следующим образом:


Рис. 89

Эта кривая — часть параболы с осью вдоль оси X и вершиной в точке x = A1 (рис. 89). Таким образом, мы получили незамкнутую кривую.

Читайте также:  Как восстановить пароль в гугл плей аккаунте

Рассмотрим теперь влияние частот на форму траектории, а амплитуды поперечного и продольного колебаний, описываемых системой уравнений (3), возьмем одинаковыми.

Построим, например, кривые, соответствующие уравнениям

Сделать это проще всего так. Возьмем окружность радиуса А (рис. 90), отметим на ней точки, соответствующие углам ωt, равным 0, π /8, π /4, 3π /8, π /2, 5π /8, 3π /4, 7π /8, π, . 2π.


Рис. 90

Чтобы найти течки с координатами x = A cos ωωt и y = A sin2ωt, вспомним, что в случае окружности единичного радиуса (r = 1) cos ωt численно равен проекции радиуса-вектора r (ωt) на ось X, a sin ωt — проекции на ось Y. Так как мы взяли окружность радиуса A, то координаты x и y каждой точки окружности — это проекции радиусов-векторов этих точек на оси X и Y.

Найдя все точки по их координатам, проведем через эти точки сплошную линию (рис. 90).


Рис. 91

Для обоих случаев получаются замкнутые кривые, число петель которых соответствует отношению (рис. 91, а, б).


Рис. 92

Фигура, приведенная на рис. 92, незамкнута. Она соответствует системе уравнений

В каком же случае получаются незамкнутые фигуры? Можно ли найти общие закономерности? Рассмотрим уравнения в виде

Прежде всего заметим, что в той точке, где кривая поворачивает обратно по той же траектории, скорости тела вдоль осей X и Y одновременно обращаются в нуль. Ведь именно в этом случае тело, двигаясь вдоль кривой, останавливается, а затем начинает двигаться обратно. Если x = A1 cos ρωt, то

Когда

Аналогично для vy получаем

Посмотрим, когда скорости vx и vy обращаются в нуль:

Из этих условий ясно, что фигура Лиссажу получается незамкнутой в тех случаях, когда

В частности, кривая на рис. 92 удовлетворяет этому условию.

Фигуры Лиссажу можно наблюдать на экране осциллографа. На вертикальную развертку подается одно гармоническое колебание, на горизонтальную — другое. Их сумма может принимать разнообразные формы. Для этого достаточно менять частоту переменного напряжения на обкладках осциллографа.

Каждый из вас может сам сделать очень простое устройство для наблюдения и фотографирования фигур Лиссажу. Возьмите обыкновенную металлическую линейку и изогните ее так, чтобы плоскость одной половины линейки была перпендикулярна плоскости второй ее половины (см. рис. 93).


Рис. 93

Один из концов линейки зажмите в тиски. Если теперь качнуть свободный конец линейки, он будет описывать в воздухе замысловатые фигуры. Это и будут фигуры Лиссажу.

Движение свободного конца линейки складывается из независимых колебаний двух частей линейки. Одна — от тисков до перегиба и вторая — от перегиба до конца. Колебания каждой части перпендикулярны плоскости линейки на этом отрезке. Поскольку угол перегиба линейки равен π /2, колебания взаимно перпендикулярны. Вид траектории конца линейки зависит от длины и ширины линейки и от того, в каком месте ее перегнуть.

Для получения разных фигур можно использовать одну и ту же линейку. Чтобы изменять соотношение частот вертикального и горизонтального колебаний, достаточно зажимать линейку в тиски в разных местах.

Так как частота колебаний зависит от длины линейки, то, меняя соотношения между длинами ее частей, вы будете менять соотношения между частотами взаимно перпендикулярных колебаний конца линейки. При этом получатся различные траектории конца линейки.


Рис. 94

Чтобы сфотографировать получающиеся фигуры, к свободному концу надо прикрепить маленькую лампочку от карманного фонарика. Лампочка проводами, протянутыми вдоль линейки, соединяется с батарейкой (см. рис. 93). Поместив наш сложный маятник в темной комнате, можно сфотографировать колебания линейки. Время экспозиции должно быть достаточно велико. Его вы можете определить, проведя несколько опытов с разной экспозицией. На рис. 94 приведены фотографии, полученные именно таким способом.

Попробуйте провести подобные опыты самостоятельно.

Ссылка на основную публикацию
Файловая система для операционной системы windows
Вы знаете, что Windows Phone использует NTFS? Почему большинство карт памяти и почти все USB-накопители по-прежнему используют старый-добрый FAT? Почему...
Унитаз санита аттика отзывы
Перед тем как покупать Sanita Аттика хочется прочитать о нём отзывы владельцев, тех людей, кто уже купил и пользуется товаром...
Упал iphone полосы на экране
Узнайте, что делать. Если экран слишком чувствителен или не всегда реагирует на касания Перезапустите устройство. Убедитесь, что экран устройства чист,...
Файлы в карантине что с ними делать
содержит все нейтрализованные вредоносные программы в корзине в течение определенного периода времени до того момента, как применит к ним соответствующие...
Adblock detector