Что такое задача коши

Что такое задача коши

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию .

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку . Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

  • · семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания;
  • · кривую этого семейства, проходящую через точку .

Дифференциальное уравнение искомого семейства или .

Проинтегрировав обе части равенства, получим: , откуда _ уравнение семейства кривых, обладающих заданным свойством.

Определим значение , соответствующее начальным значениям: , т.е. .

Следовательно, _ искомая интегральная кривая.

Дифференциальное уравнение -го порядка можно свести к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, если обозначить через , через ,…, через , получим систему дифференциальных уравнений:

Для этой системы также можно ввести понятия частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций в некоторой точке , т.е. это просто начальные условия исходного уравнения -го порядка. Когда такое решение будет найдено, то функция будет искомым частным решением исходного уравнения -го порядка. Верно и обратное: если дана произвольная система дифференциальных уравнений первого порядка, то, исключив из нее все неизвестные функции, кроме одной, ее можно свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, проще решить.

Пример. Решить систему двух уравнений первого порядка:

Решение. Продифференцировав первое уравнение, получим . Подставим в него из второго уравнения, получим . Общее решение этого уравнения имеет вид . Используя первое уравнение, получаем , и исходная система решена.

Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида:

которую коротко можно записать в векторной форме .

Задача Коши для такой системы формулируется следующим образом: для заданной точки найти вектор-функцию , которая является решением системы уравнений и .

Рассмотрим задачу Коши для разрешенного относительно дифференциального уравнения -го порядка , которое можно получить из рассмотренной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести обозначения:

получится эквивалентная система дифференциальных уравнений первого порядка:

Читайте также:  Отзывы о смартфоне самсунг j4 2018

Задача Коши для уравнения -го порядка формулируется следующим образом: найти решение уравнения для данных значений:

Точки и называются начальными условиями, их можно записать также в виде и .

Существование и единственность решения задачи Коши может быть сформулировано в виде следующих теорем.

Теорема. Пусть в некоторой области функция и ее частная производная

непрерывны. Тогда через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения.

Графически это можно представить как семейство кривых, представляющих графики решений, которые полностью заполняют область , но при этом они не могут иметь общих точек, т.е. они не пересекаются и не касаются друг друга.

Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.

Если функции и их частные производные по непрерывны в -мерной области , то через каждую точку области проходит единственное в области решение системы дифференциальных уравнений:

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши позволяют описать множество решений дифференциального уравнения в виде общего решения.

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

Читайте также:  Найти отношение периодов двух математических маятников

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

Если вы забьете в поисковик что-то вроде "решить дифференциальное уравнение онлайн", то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x quad (x
e 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Читайте также:  Как очистить кэш excel

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, , y(1/3)=1, , y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= frac<2y-x><2x+y>, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+cos x, quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^<2x>.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=frac<9e^<-3x>><3+e^<-3x>>, quad y(0)=4ln 4, y'(0)=3(3ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $

Онлайн калькулятор для решения задачи Коши. Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Для того чтобы решить задачу Коши необходимо найти общее решение дифференциального уравнения, а потом подставить начальные условия и найти неизвестные коэффициенты С1 и С2.
Данный калькулятор решает задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка.
В калькулятор вводим дифференциальное уравнение и начальные условия, как указано в примере, нажимаем кнопку "Вычислить", получаем ответ.

Ссылка на основную публикацию
Что такое ogg формат
Ogg — Dateiendung: .ogg, .oga, .ogv, .ogx MIME Type … Deutsch Wikipedia .ogg — Dateiendung .ogg, .oga, .ogv, .ogx MIME...
Что значит включена переадресация вызова когда звонишь
Что такое переадресация звонков? Что значит «Переадресация звонков»? Данная услуга позволяет всегда оставаться на связи, за счёт перенаправления исходящих звонков....
Что значит восьмиядерный процессор
Дизайн и эргономика важны для гаджетов, но в то же время каждый пользователь понимает, что сердцем любого электронного устройства являются...
Что такое pppoe соединение на роутере
PPPoE (англ. Point-to-point protocol over Ethernet ) — сетевой протокол канального уровня (второй уровень сетевой модели OSI) передачи кадров PPP...
Adblock detector