Что такое отношение эквивалентности

Что такое отношение эквивалентности

Отношение эквивалентности – это отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Обозначается знаком

В соответствии с определением для отношения эквивалентности выполняются свойства:

Примеры отношений эквивалентности – равенство, подобие треугольников.

Используя отношение эквивалентности можно проводить разбиение множества на классы эквивалентности.

Класс эквивалентности, порожденный элементом – множество всех элементов из , вступающих с в отношение эквивалентности.Класс эквивалентности определяется так:

, для подбираются элементы, находящиеся в соответствии с элементомх.

Отношение эквивалентности имеет большое практическое применение, позволяющее разбивать множества на классы эквивалентности. Класс эквивалентности можно получить, если для выбранного элемента х из множества Х можно подобрать элементы , находящиеся сх в одном классе эквивалентности

.

Фактор-множества множества по отношению эквивалентностиφ – множество всех различных классов эквивалентности, обозначаемое А / φ.

Индекс разбиения, порожденный отношением φ – это мощность фактор-множества А / φ.

а) Отношение равенства на любом множестве является отношением эквивалентности.

Равенство – это минимальное отношение эквивалентности в том смысле, что при удаление любой пары из (то есть любой единицы на диагонали матрицы) оно перестает быть рефлексивным и, следовательно, уже не является эквивалентностью.

б) Утверждения видаили, состоящие из формул, соединенных знаком равенства, задают бинарное отношение на множестве формул, описывающих суперпозиции элементарных функций. Это отношение обычно называется отношением равносильности и определяется следующим образом: формулы равносильны, если они задают одну и ту же функцию. Равносильность, хотя и обозначается знаком =, отличается от отношения равенства , так как оно может выполняться для различных формул. Отношениедля формул – это совпадение формул по написанию. Оно называетсяграфическим равенством.

в) Рассмотрим множество треугольников на плоскости, считая, что треугольник задан, если заданы координаты его вершин. Два треугольника называются конгруэнтными (равными), если они при наложении совпадают, то есть могут быть переведены друг в друга путем некоторого перемещения. Конгруэнтность является отношением эквивалентности на множестве треугольников.

г) Отношение «иметь один и тот же остаток от деления на 9» является эквивалентностью на . Это отношение выполняетсядля пар (12, 21), (17, 36) и не выполняется для пар (11, 13), (19, 29).

Пусть на множествезадано отношение эквивалентности . Осуществим следующее построение. Выберем элемент и образуем класс (подмножество), состоящий изи всех элементов, эквивалентных; затем выберем элементи образуем класс, состоящий изи всех элементов, эквивалентных, и т.д. Получится система классов(возможно, бесконечная) такая, что любой элемент из входит хотя бы в один класс, то есть. Эта система классов обладает следующими свойствами:

она образует разбиение, то есть классы попарно не пересекаются;

любые два элемента из одного класса эквивалентны;

любые два элемента из разных классов неэквивалентны.

Все эти свойства вытекают из рефлексивности, симметричности и транзитивности . Действительно, если бы классы, например и, пересекались, то они имели бы общий элемент, эквивалентныйи, но тогда из-за транзитивности было бы , что противоречит построению. Аналогично доказываются другие два свойства.

Построенное разбиение, то есть система классов, называется системой классов эквивалентности по отношению . Мощность этой системы называется индексом разбиения. С другой стороны, любое разбиение на классы определяет некоторое отношение эквивалентности, а именно, отношение «входить в один и тот же класс данного разбиения».

Читайте также:  Клевые фамилии для вконтакте для девушек

а) Все классы эквивалентности по отношению равенства состоят из одного элемента.

б) Формулы, описывающие одну и ту же элементарную функцию, находятся в одном классе эквивалентности по отношению равносильности. В этом примере счётны само множество формул, множество классов эквивалентности (то есть индекс разбиения) и каждый класс эквивалентности.

в) Разбиение по отношению «иметь общий остаток от деления на 7» имеет конечный индекс 7 и состоит из 7 счетных классов: 0, 7, 14, …; 2, 9, 16, …; …; 6, 13, 20, …

Лекция № 7 Виды бинарных отношений

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в рамках неклассической философии были сформулированы идеи, “приземлившие” философию И. Канта и Гегеля. Стройные формы её (систематичность, концептуальность, язык, логика, диалектика и т. п.) были отвергнуты или перестали быть обязательными. В философию пришли нерациональные способы познания и выражения мысли. Неклассическая философия как бы вернула человеку человеческое — волю, субъективные переживания, интуицию, мистическую веру, комплексное восприятие жизни. Она предопределила основные направление философии XX ст. в лице экзистенциализма, феноменологии, персонализма, герменевтики, отчасти психоанализа, идею благоговения перед жизнью А. Швейцера и др.

Общее умонастроение неклассической философии подчёркивает несовершенство научно-технического прогресса как идеологии и высвечивает проблему человеческой личности как главную цель философии нашего столетия.

Цель:рассмотреть основные виды бинарных отношений (эквивалентность, отношение порядка, толерантность)

Бинарное отношение может иметь одновременно не­сколько свойств. Некоторые сочета­ния этих свойств определяют особенно интересные отношения, наиболее часто встречающиеся как на практике, так и в математических теориях.

При поломке какой-нибудь де­тали автомобиля ее заменяют другим экземпляром той же детали. Различные экземпляры одной и той же детали неотличимы друг от друга; они, как говорят, эквивалентны (равноценны). Точно так же эквивалентны все монеты одного и того же достоинства и года вы­пуска, все костюмы одной и той же модели и размера, сделанные из одинакового материала, и т. д.

Не всегда эквивалентность сводится к простой одинаковости. Например, если требуется уплатить сумму в 1 руб., то бумажный и металлический рубли эквивалентны друг другу, равно как и 5 двадцатикопеечных монет, или 20 пятачков. В физике считаются эквивалентными взаимозаменяющие друг друга количества энергии (например, 1 ккал эквивалентна 4190 Дж и т.д.).

Выясним, какими общими свойствами обладает отношение вза­имозаменяемости объектов. Во-первых, ясно, что каждый объект может сам себя заменить. Это значит, что для всех х должно выпол­няться отношение xRx, т. е. отношение взаимозаменяемости долж­но быть рефлексивным. Во-вторых, если х взаимозаменяемо с у, то и у взаимозаменяемо с х. Иными словами, если xRy, то и yRx, а потому R симметрично. Наконец, если х взаимозаменяемо с у, а у взаимозаменяемо с z, то х взаимозаменяемо с z. Иными словами, из xRy и yRz следует xRz, т. е. R транзитивно.

Итак, отношение взаимозаменяемости должно обладать свойст­вами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Эти свой­ства характеризуют взаимозаменяемость, и потому мы вводим сле­дующее определение:

Отношением эквивалентности в множестве X называется любое рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение R.

Приведем примеры таких отношений.

Пример 1. Отношение равенства геометрических фигур рефлексивно (каждая фигура сама себе равна), симметрично (если фигура х равна фигуре у, то и фигура у равна фигуре х) и транзитивно (если фигура х равна фигуре у, а фигура у – фигуре z, то х и z равна). Значит, отношение равенства – эквивалентность в множестве геометрических фигур.

Читайте также:  Как включить смартфон леново

Пример 2. Отношение подобия геометрических фигур также является отношением эквивалентности.

Пример 3. Отношение параллельности прямых также обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а потому является отношением эквивалентности в множестве прямых.

Пример 4. Отношение равносильности двух уравнений рефлексивно (каждое уравнение равносильно самому себе), симметрично (если одно уравнение равносильно другому, то и второе равносильно первому) и транзитивно. Значит, оно является эквивалентностью в множестве уравнений.

Пример 5. Отношение равенства дробей тоже является эквивалент­ностью. В самом деле, дроби и равны в том и только в том случае, когда ad = bс. Легко проверяется, что (наше равенство принимает вид: аb = аb) и что из = следует = (из ad = be следует cb = da). Докажем транзитивность этого отно­шения. Пусть = и = . Это значит, что ad = bc и сf = de. Но тогда adf = bcf и bcf = bde, а потому adf = bde. Отсюда получаем, что af = be, а это и значит = .

Отношение «жить в одном доме» является эквивалентностью в множестве людей (оно рефлексивно, симметрично и транзитивно), а отношение «жить на одной улице» эквивалентностью не является. Дело в том, что человек у может жить в угловом доме на пересече­нии двух улиц, а х и z – на этих улицах. Тогда х и у живут на одной улице, равно как у и z, но х и z живут на разных улицах. Не является эквивалентностью и отношение «служить в одном полку» в множестве военнослужащих. Оно симметрично и транзитивно, но не рефлексивно – есть военнослужащие, не принадлежащие ни­какому полку (например, моряки), и о них нельзя сказать, что они служат в одном полку сами с собой.

Множество всех учащихся данной школы разбито на классы 1А, 1Б, . 10Б. С этим разбиением свя­зано отношение «учиться в одном классе», являющееся эквива­лентностью.

Непересекающиеся множества, на которые разбивается множество М отношением эквивалентности, называются классами эквивалентности. Другими словами, классом эквивалентности, порожденным элементом х, называется множество всех элементов из М, вступающих с х в отношение эквивалентности. Множество всех различных классов эквивалентности называется фактор-множеством множества М по отношению к эквивалентности R и обозначается М R. Например, множество всех рациональных чисел Q можно разбить на классы эквивалентности, для которых – рациональная дробь, где

Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмноже­ства лежит в основе всех классификаций. Например, в библиотеках множество всех книг разбивают на книги по математике, по физике, по химии, по истории и т. д., в биологии множество всех живых существ разбивают на виды, множество видов – на роды и т. д.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Широкое применение отношений эквивалентности в современной математике связано с тем, что всякое отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, в котором оно определено, на классы.

П р и м е р 1. Пусть на множестве всех целых неотрицательных чисел N = <0, 1, 2, 3, …>задано отношение Р: «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3». Докажем, что Р – отношение эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

Читайте также:  Более чем в 50 странах

а) отношение Р – рефлексивно, поскольку любое х Î N имеет при делении на 3 тот же остаток, что х;

б) Р – симметрично, поскольку для любых х, у Î N, если числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа у и х имеют один и и тот же остаток при делении на 3;

в) Р – транзитивно, поскольку для любых трех чисел x, y, z Î N0, если х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, и у и z имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа х и z имеют один и тот же остаток при делении на 3.

Следовательно, отношение Р: «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3» является отношением эквивалентности, и поэтому оно разбивает множество N на классы. Эти классы называются классами вычетов по модулю 3.

[0] – так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 0, т.е. [0] = <0, 3, 6, 9, 12 …>, или [0] = <3k>, где k Î N.

[1] – так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, т.е. [1] = <1, 4, 7, 10, 13 …>, или [1] = <3k + 1>;

[2] – так обозначается класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2, т.е. [2] = <2, 5, 8, 11, 14 …>, или [2] = <3k + 2>.

Итак, отношение Р разбивает множество N на 3 класса, и вообще, можно доказать, что отношение «числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на m» разбивает это множество на m классов.

П р и м е р 2. На множестве N – натуральных чисел задано отношение Р следующим образом: (х1, у1) Р (х2, у2) .

Установим, что Р является отношением эквивалентности и определим классы эквивалентности, определяемые этим отношением.

Действительно, это отношение:

а) рефлексивно, поскольку для любых пар (х, у) имеет место
ху = ух;

Таким образом, отношение Р разбивает множество N на классы эквивалентности. Каждый из этих классов называется рациональным числом.

Например, пары (1, 2), (2, 4), (3, 6) принадлежат одному классу <(1, 2), (2, 4), (3, 6), …>. Можно этот класс определить следующим образом , т.е. как множество пар, эквивалентных паре (1, 2). Обычно эти пары записывают так: и называют дробями, а эквивалентность пар называют равенством дробей. Для упрощения заменяют класс эквивалентности каким-нибудь его элементом (представителем), чаще всего наиболее простым (несократимой дробью), называя его рациональным числом. Такое упрощение допустимо, так как рациональное число, как класс эквивалентности, однозначно определяется любым элементом этого класса, а операции над рациональными числами, как над классами пар, определяются через операции над представителями этих классов таким образом, что результаты этих операций не зависят от выбора представителей.

Как видно, дробь – форма выражения числа, при этом бесконечное множество дробей, составляющих один класс эквивалентности по отношению P на N, выражает одно число, которое может оказаться целым или дробным положительным числом, т.е. одно рациональное число.

Ссылка на основную публикацию
Что такое ogg формат
Ogg — Dateiendung: .ogg, .oga, .ogv, .ogx MIME Type … Deutsch Wikipedia .ogg — Dateiendung .ogg, .oga, .ogv, .ogx MIME...
Что значит включена переадресация вызова когда звонишь
Что такое переадресация звонков? Что значит «Переадресация звонков»? Данная услуга позволяет всегда оставаться на связи, за счёт перенаправления исходящих звонков....
Что значит восьмиядерный процессор
Дизайн и эргономика важны для гаджетов, но в то же время каждый пользователь понимает, что сердцем любого электронного устройства являются...
Что такое pppoe соединение на роутере
PPPoE (англ. Point-to-point protocol over Ethernet ) — сетевой протокол канального уровня (второй уровень сетевой модели OSI) передачи кадров PPP...
Adblock detector