Число линейно независимых векторов в системе равно

Число линейно независимых векторов в системе равно

Линейная зависимость и независимость векторов

Определения линейно зависимой и независимой систем векторов

Пусть имеем систему из n-векторов и имеем набор чисел , тогда

(11)

называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.

Определение 23 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов , из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:

. (12)

Пусть , тогда

Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.

Определения 23 и 24 эквивалентны.

Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)

Система векторов называется линейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всех равных нулю.

Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)

Система векторов называется линейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.

Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов

Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)

Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.

 Пусть , тогда .

Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию (12) система линейно зависима. 

Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.

 Пусть — линейно зависимая подсистема , среди которых хотя бы одно не равно нулю:

Пусть

Значит, по определению 23, система линейно зависима. 

Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.

 От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой. 

Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов

Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда .

и — линейно зависимы , что выполняется условие . Тогда , т.е. .

линейно зависимы. 

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору

Читайте также:  Кофемашина saeco горит восклицательный знак красный

Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .

Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.

— линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.

, (13)

где и . По правилу параллелограмма есть диагональ параллелограмма со сторонами , но параллелограмм – плоская фигура компланарны — тоже компланарны.

— компланарны. Приложим три вектора к точке О:

C

B`

– линейно зависимы 

Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.

Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.

Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.

Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

 Рассмотрим 4 случая:

Если среди векторов есть нулевой вектор. Тогда система линейно зависима по теореме 2.

Если среди векторов имеется хотя бы 1 пара коллинеарных векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 5 и 3.

Если среди векторов имеется компланарная тройка векторов. Тогда система линейно зависима по теоремам 6 и 3.

Если среди векторов нет нулевых векторов, коллинеарных пар и компланарных троек. Приложим эти 4 вектора к точке О.

. Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точку D, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипед OB1D1C1ABDC.

Рассмотрим OB1D1C1 – параллелограмм по построениюпо правилу параллелограмма .

Рассмотрим OADD1– параллелограмм (из свойства параллелепипеда) , тогда

EMBED Equation.3 .

По теореме 1 такие, что . Тогда , и по определению 24 система векторов линейно зависимая. 

Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.

Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

т.е. векторx1является линейной комбинацией векторовx1, x2 , …, xn. Следовательно, если векторы линейно зависимы, то, по крайней мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Читайте также:  Чему равно произведение векторов

Пусть x1=, тогда соотношение (*) примет вид

x1+=0, β 1= -1.

Система линейно зависима.

Система трех некомпланарных векторов (направленных отрезков) линейно независима.

c

b векторовa и b,что противоречит условию.

Однако, любые четыре вектора пространства линейно зависимы.

c d = OP1 + P1P + PD = α a + β b + γ c

D

P1 P

Система двух неколлинеарных векторов a и b плоскости линейно независима. В противном случаеb = αa, т.е. векторы коллинеарны. Однако любые три вектора плоскостилинейно зависимы.

P2 c = OP1 + OP2 = α a + βb.

b c

Линейное пространство называется n мерным, если в нем существует система n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы.

Т.е. размерность пространства – это максимальное число линейно независимых векторов, содержащихся в нем.

Размерность множества всех обычных пространственных векторов равна трем.

Размерность множества всех плоских векторов равна двум.

Размерность множества всех коллинеарных векторов равна единице.

О п р е д л е н и е . Упорядоченная система n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.

Каждый вектор x линейного пространства представляется, и притом единственным образом, как линейная комбинация векторов базиса.

x =

Это представление единственно, т.к., если вектор x можно представить через векторы базисаeiв виде

Таким образом, задание координат вектора в определенном базисе вполне определяет вектор.

П р и м е р . Рассмотрим множество обычных пространственных векторов (направленных отрезков). В качестве базиса можно взять векторы i, j, k.

Максимальное число — линейно независимый вектор

Максимальное число линейно независимых векторов n — мерного пр странстза Еп в точлпсти разно размгр-носта этзго пространства. [1]

Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства V называется размерностью этого пространства. В противном случае это пространство называется бесконечно-мерным. Очевидно, что число векторов базиса равно размерности пространства. [2]

Следовательно максимальное число линейно независимых векторов в изоморфных пространствах должно быть одинаковым, а значит, размерности этих пространств — равные. В частности, бесконечномерное пространство не изоморфно никакому пространству конечной размерности. [3]

Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов в изоморфных пространствах должно быть одинаковым, а значит, размерности этих пространств — равные. [4]

Мы видим, что максимальное число линейно независимых векторов на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве совпадает с тем, что в геометрии принято называть числом измерений прямой, плоскости, пространства. [5]

Поэтому rang А равен максимальному числу линейно независимых векторов gfc. [6]

Читайте также:  Как сделать округление чисел в excel

Отсюда вытекает, что ранг матрицы X дает нам максимальное число линейно независимых векторов , содержащихся в данной совокупности векторов. [7]

Таким образом, в ряду ( 82) имеется р линейно независимых векторов, и это максимальное число линейно независимых векторов ряда ( 82) может быть всегда реализовано на первых р векторах ряда. [8]

Таким образом, мы идим что кратность, с которой единичное представление содержится в М, равна максимальному числу линейно независимых векторов е из 2 № таких, что М ( з) е для всех а О. [9]

Размерность любого подпространства векторного пространства не превосходит размерности самого пространства: ведь линейно независимые векторы подпространства RI будут линейно независимыми и во всем пространстве, а значит, максимальное число линейно независимых векторов подпространства не превосходит размерности всего пространства. [10]

Если также учесть, что в пространстве R любая система векторов, в которой число векторов превышает п, линейно зависима, то можно дать другое определение размерности: размерность пространства L есть максимальное число линейно независимых векторов в этом пространстве. [11]

Эта теорема дает метод для практического вычисления ранга матрицы, а поэтому и для решения вопроса о существовании линейной зависимости в данной системе векторов; составляя матрицу, для которой данные векторы служат столбцами, и вычисляя ранг этой матрицы, мы находим максимальное число линейно независимых векторов нашей системы. [12]

Это положение целиком вытекает из предыдущего: в n — мерном пространстве система из п ортов линейно независима, а любая система из большего чем п числа векторов линейно зависима. Следовательно, максимальное число линейно независимых векторов в — мерном пространстве равно п, а это, по определению, и есть ранг данного множества. [13]

Возвращаясь к задаче нахождения ранга матрицы А, отметим, что не существует непосредственной связи ее решения с каким-либо множеством переменных некоторой линейной программы. С другой стороны, ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых векторов , которое может быть получено из матрицы А. Это в свою очередь дает возможность создания некоторой оптимизирующей модели, решения ко-торой будут связаны с максимальным числом линейно независимых структурных векторов PJ. К такой модели можно применить тогда метод решения, который тоже использует только линейно независимые векторы, чтобы решать с его помощью практические задачи. [15]

Ссылка на основную публикацию
Чернила для заправки маркеров
Чернила перманентные E-MTK25 Перманентные чернила edding МTК 25. Чернила на спиртовой основе. В бутылочках с капиллярной пипеткой для заправки перманентных...
Цифровой формат фото это
Нажав на кнопку спуска фотоаппарата, мы получаем снимок и принимаем этот факт как должное. Но с момента щелчка затвора до...
Цифровой фотоаппарат nikon coolpix a900
19 декабря 2016 г. Обзор Nikon Coolpix A900 — компакт с 4K Nikon Coolpix A900 это компактная камера с большим...
Чернила для принтера пушкин
Основные характеристики: - стабильны при потоковой печати, в том числе при печати больших тиражей на термоструйных принтерах; - совместимы с...
Adblock detector