Число эйлера в excel

Число эйлера в excel

Функция EXP (экспонента) в Microsoft Excel

​Смотрите также​vikttur​ 000 получится не​: Может Вам раздвинуть​ значит и как​ 12-й степени​ сделать числовой формат?​: правой кнопкой мыши​номер​ для выполнения вычислений​В списке​формат отображает число​

​ в Экселе при​ вследствие вычисления экспоненты.​

Вычисление экспоненты в Эксель

​. Вбиваем в него​. Итог выводится в​Для того чтобы рассчитать​Одной из самых известных​: Особенность работы формата​ допустим амперы а​ столбец (ширину столбца)?​ от него избавиться?Файл​

​Получилось! Точку на​ по ячейке -​.​ в Excel. Фактическое​

​категории​ в экспоненциальном представлении,​ помощи функции​​ Для построения графика​​ цифру, которая будет​ заранее указанную ячейку.​ в Экселе величину​ показательных функций в​ вычислений, применяемого в​ наноамперы​

Способ 1: вычисление экспоненты при помощи ручного ввода функции

​anvg​ не прилпгаю из-за​: -1,9760*10в -12степени​​ запятую надо было​​ формат ячейки -​Вера​ значение могут быть​​выберите​​ заменив часть числа​EXP​

​ на листе должны​

​ означать величину степени​Урок:​ экспоненты для значения​ математике является экспонента.​ компьютере. Ошибка возникает​Юрий М​: Кому как. Microsoft​ того что работа​Сали-мали​ исправить в числах.​ выбираете числовой формат​: EXP()​ видны в строка​Экспоненциальный​

    ​ с E +​элементарно просто. Эту​ уже иметься рассчитанные​ числа Эйлера. Жмем​Другие математические функции в​e​ Она представляет собой​ на 16 знаке​

​: При умножении на​

  • ​ предупреждает при сохранении​ производиться в 2010​​: — 1,97601Е -12​​Clichok​ — ок.​
  • ​Александр​​ формул.​.​

    Способ 2: использование Мастера функций

    ​n​ процедуру легко произвести​ значения экспоненты различных​​ на кнопку​​ Эксель​в указанной степени,​

      ​ число Эйлера, возведенное​ после запятой.​ такую величину наноамперы​ файла в формат​ офиссе.Заранее спасибо. ​ это экспоненциальная форма​​: щелкнуть на ней​​все готово​: я почему-то не​

    ​Максимальный предел для точность​​Маленькие стрелки при помощи​​, в котором E​​ как в ручном​​ степеней. Произвести их​​«OK»​​Хотя синтаксис расчета экспоненты​​ нужно воспользоваться специальным​​ в указанную степень.​При работе с​ никак не получить.​​ 2003 в Excel​​Guest​

    ​ записи действительных чисел.​ правой кнопкой, выбрать​Сделал, не изменилось.​​ уверен, что оно​​ представления чисел, так​ указать​ (показатель) умножается на​ режиме, так и​ вычисление можно одним​​.​​ предельно прост, некоторые​

  • ​ оператором​ В Экселе существует​ нецелыми данными нужно​ Вот если разделить. ​ 2007/2010 о потере​: 🙂 🙂 :-)​
  • ​Е в данном​ формат ячейки, потом​ Эти данные с​ там есть.​ 15 цифр фактическое​десятичных разрядов​​ предыдущем число 10​​ посредством​ из способов, которые​После вышеперечисленных действий результат​ пользователи предпочитают применять​EXP​ отдельный оператор, позволяющий​ применять округление:​T1339​​ точности. Возможно, в​​ИМХО это баг​

    ​ случае равно 10.​​ выбрать вместо экспоненциального​ E из внешнего​

    Способ 3: построение графика

    ​вместо этого можете​ значение отображается в​, который требуется отобразить.​ в степень​Мастера функций​ описаны выше.​ расчета будет показан​Мастер функций​. Его синтаксис является​ её вычислить. Давайте​=ОКРУГЛ(C2-D2;2)​: В числовом виде​ 2003 Double принудительно​

      ​ 10-го.​Е -12 означает​ — числовой, и​​ источника, может как​​ воспользоваться выражением EXP(1),​ строке формул могут​​Совет:​​n​​. Кроме того, программа​​Выделяем диапазон, в котором​ в той ячейке,​. Рассмотрим, как это​ следующим:​ разберемся, как его​

  • ​T1339​ результат "0", но​ округлялся до 14​2003 — the​ 10 в минус​ кнопочкой в панели​ изменить эти E+​ что есть Е​ измениться для большого​ Номер, который находится в​
  • ​. Например экспоненциальный формат​​ предоставляет инструменты для​ представлены экспоненты. Переходим​

    ​ которая была выделена​ делается на примере.​=EXP(число)​​ можно использовать на​​: аа.. все, догнал.​ по формулам его​ знаков, а 2007/2010​ best.​ 12-й степени.​​ инструментов увеличить количество​​ и E- на​ в первой степени.​ числа (более 15​ активной ячейке выделенного​

    ​ 2 десятичных отображается​

    Отображение чисел в экспоненциальном (научном) представлении

    ​ построения графика на​​ во вкладку​ в первом пункте​Устанавливаем курсор на ту​То есть, эта формула​ практике.​спасибо.​ невозможно использовать. Копирую​ как естьс 15-16.​ZVI​- 1,97601Е -12​ нулей после запятой​ то что эксель​или​ цифр).​ фрагмента на листе​ 12345678901 1.23E +​ основе этих расчетов.​«Вставка»​ данного способа.​ ячейку, где должен​ содержит только один​

    ​Скачать последнюю версию​​у меня при копировании​ в блокнот и​ Вот и поличился​: Это так называемая​​ = — 0,000000197601.​​ ;)​ понимать а там​создайте ячейку содержащую​Чтобы сбросить числовой формат,​​ появится в поле​​ 10 которого равно​Автор: Максим Тютюшев​. На ленте в​Если в качестве аргумента​ будет выводиться итоговый​ аргумент. Он как​

    ​ Excel​ с сайта таблицы​ обратно, только тогда​

    ​ такой резултат​ экспоненциальная форма записи​Чтобы получился понятный​хотя количество нулей​ сделать числовой формат?​ формулу =EXP(1) и​

    ​ щелкните​​ "​ 10 раз 1.23​Примечание:​

    ​ группе настроек​​ используется ссылка на​​ результат расчета. Щелкаем​​ раз и представляет​​Экспонента является числом Эйлера,​​ в Эксель более​​ нуль нулем становиться.​​Ани​

    ​ числа, при которой​​ тебе результат, сделай​​ можно указать сразу​​Юрий М​​ назовите ячейку как​

    ​Общие​Образец​​ десятой степень.​​Мы стараемся как​

    ​«Диаграммы»​​ ячейку, которая содержит​ по значку в​ собой степень, в​ возведенным в заданную​ тыс строк самостоятельно​​ "Округл" не помогает.​​: Раздвинула столбец-ничего не​ E-15 означает умножение​ следующее: по ячейке​ там. ​

    ​: Попробуйте после изменения​

    ​ Е, и в​в поле​" таким образом,​​Выполните указанные ниже действия,​​ можно оперативнее обеспечивать​​нажимаем на кнопку​​ показатель степени, то​​ виде пиктограммы​​ которую нужно возвести​​ степень. Само число​​ заменились на значение​ Арифметика крайне проста,​ изменилось​

    ​ на десять в​ (где результат) кликни​Неизвестно​ формата при активной​ последующих вычислениях используйте​Формат номера​ вы можете просмотреть​ чтобы применить экспоненциальный​

    ​ вас актуальными справочными​«График»​ нужно поставить курсор​«Вставить функцию»​ число Эйлера. Этот​ Эйлера приблизительно равно​ Е+ как вернуть​ Е тут непонятно​

    ​Результаты полученные в​ минус 15-й степени:​​ правой кнопкой мыши,​​: растяни ячейку или​​ ячейке с таким​​ эту букву.​​(вкладка "​​ форматирования чисел с​​ формат числа.​​ материалами на вашем​. Открывается список графиков.​ в поле​​слева от строки​​ аргумент может быть​ 2,718281828. Иногда его​​ изначальное (если в​​ откуда.​ данных столбцах будут​4,94758E-15 = 4,94758​ в контексном меню​ поменяй ее формат​ значением нажать F2​Jorge​Главная​​ выбранными параметрами.​​Выделите ячейки, которые нужно​

    Скажите пожалуйста число Е как обозначается в формулах в Экселе или просто как оно называется по другому?

    ​ языке. Эта страница​​ Выбирайте тот тип,​

    ​«Число»​​ формул.​ как в виде​ именуют также числом​
    ​ значении Е+ последнии​Ship​ в дальнейшем испльзоваться​ * 10^-15​
    ​ выбери:​
    ​Александр​ и Enter -​: Обозначается как экспонента:​", группа "​Кроме того помните, что:​ отформатировать. Дополнительные сведения​

    ​ переведена автоматически, поэтому​​ который считаете более​и просто выделить​Открывается окошко​

    Как преобразовать в excel число вида -1.43602E+03 в -1436.02? То есть убрать E+ или E-

    ​ числового значения, так​​ Непера. Функция экспоненты​ цифры заменены на​: Файл скачивается весом​ для постраения графиков(научная​В Вашем случае​

    ​Формат ячеек —>​​: ячейка маленькая, это​ преобразуется?​ EXP(). Например, е​число​Чтобы быстро форматирование чисел​
    ​ читайте в статье​

    ​ ее текст может​​ подходящим для выполнения​ ту ячейку на​Мастера функций​ и принимать вид​ выглядит следующим образом:​
    ​ нули) . ​

    ​ 0 кб и​ работа по медицине).КАк​ 4,94758E-15 это практически​ Число —> Числовой​ точно​Guest​ в степени -rt,=exp(-rt)​"). Не используйте​ в экспоненциальном представлении,​

    ​ Выбор ячеек, диапазонов,​​ содержать неточности и​ конкретных задач.​ листе. Её координаты​. В категории​ ссылки на ячейку,​f(x) = e^n,​

    ​помогите кто знает​​ не открывается.​ данные результаты будут​ нуль.​ формат —> Число​Шведов сергей​
    ​: правой кнопкой мыши​

    ​Andrusha​ форматирует число ячеек,​ нажмите кнопку​ строк или столбцов​ грамматические ошибки. Для​После того, как тип​ тут же отобразятся​«Математические»​ содержащую в себе​

    ​где e – это​ пожалуйста!! ! такто​vikttur​

    Эксель Как в экселе число формата 2,37E-05 показать без Е, а полностью с нулями?

    ​ выглядить на графиках?​​Добавьте в формулу​ десятичных знаков (указать​: общий формат тоже​ по ячейке -​: Как преобразовать в​ отформатированных с использованием​Экспоненциальный​ на листе.​ нас важно, чтобы​
    ​ графика выбран, программа​ в поле. После​или​

    Читайте также:  Как выбрать том в diskpart

    ​ указатель степени.​​ число Эйлера, а​ помогает против этого​

    ​: >>В числовом виде​​k61​ округление, например до​

    ​ нужное число знаков​​ всё покажет. если​ формат ячейки -​ excel число вида​общего​

    Что значит в Excel ,когда подсчитывают уравнение в таблице,и получается вот это — 1,97601Е -12 ?что такое Е.

    ​в поле​​Совет:​ эта статья была​ построит и отобразит​

    ​ этого для расчета​​«Полный алфавитный перечень»​Таким образом для того,​ n – степень​ обычно текстовый формат​ результат "0". ​

    ​: 4,95E-15 = 0,000000000000004947580​​ 2-х десятичных разрядов,​

    ​ после запятой, например,​​ математика не нужна.​ выбираете числовой формат​ -1.43602E+03 в -1436.02?​
    ​формата. Тем не​Формат номера​
    ​ Для отмены выделения ячеек​ вам полезна. Просим​ его на том​
    ​ результата щелкаем по​производим поиск наименования​
    ​ чтобы рассчитать экспоненту​ возведения.​ ячеек но прикопировании​>>Файл скачивается весом​Если все значения​ и результат станет​ 12 или 7​
    ​ Успехов!​ — ок.​ То есть убрать​ менее​(вкладка "​ щелкните любую ячейку​ вас уделить пару​ же листе, согласно​

    Откуда появляется в числе буква E?

    ​ кнопке​​«EXP»​ для третьей степени,​Для вычисления данного показателя​ с сайта он​ 0 кб. ​ по оси одного​ настоящим нулем: =ОКРУГЛ(​ или 8. )​Дмитрий васильченко​все готово​ E+ или E-​общего​Главная​

    ​ в таблице.​​ секунд и сообщить,​
    ​ указанным экспонентам. Далее​«OK»​
    ​. Выделяем это название​ нам достаточно ввести​

    ​ в Экселе применяется​​ автоматически меняется на​Все правильно. Оч-ч-чень​ порядка, нормально будет​ ВашаФормула; 2)​Ани​: Степень. Как и​
    ​Сделал, не изменилось.​Kolynia​

    ​формата использовать экспоненциальное​", группа "​На вкладке​
    ​ помогла ли она​ его можно будет​.​ и жмем на​ в строку формул​ отдельный оператор –​

    ​ общий и ставится​​ маленький нолик :)​ выглядить.​k61​: Возникла проблема при​ во всех современных​ Эти данные с​

    ​: правой кнопкой мыши​​ представление для больших​число​

    ​Главная​​ вам, с помощью​ редактировать, как и​Урок:​ кнопку​ или в любую​EXP​ Е+​T1339​Поменяйте формат. Прикрепленные​: Не зная в​ заполнении таблица:дело в​ калькуляторах.​

    ​ E из внешнего​​ по ячейке -​ чисел (12 или​

    ​"). По умолчанию​нажмите кнопку небольшой​ кнопок внизу страницы.​ любую другую диаграмму​Мастер функций в Microsoft​«OK»​ незаполненную ячейку на​

    ​. Кроме того, эту​​Shadowfirst​
    ​: Через оперу наверно​ файлы post_327995.png (25.41​ каких расчётах этот​ том что в​
    ​Евгений бубнов​ источника, может как​ формат ячейки -​

    ​ более цифр). Чтобы​​ для экспоненциального —​Дополнительные​ Для удобства также​ Экселя.​ Excel​.​

    ​ листе следующее выражение:​​ функцию можно отобразить​: При нажатии на​ не закачался файл​ КБ)​

    ​ «практически-настоящий нуль» (эпохи​​ нескольких ячейках результаты​: Это нормализованная запись​ изменить эти E+​ выбираете числовой формат​ удалить экспоненциальное представление​ двумя десятичными знаками.​кнопки​ приводим ссылку на​Урок:​Кроме того, в Экселе​Открывается окно аргументов. Оно​

    ​=EXP(3)​​ в виде графика.​ ячейку правой кнопкой​или сами попробуйте:​

    ​ололо​​ доукругления) используется дальше,​ которых вычесляются по​
    ​ числа. Е в​ и E- на​
    ​ — ок.​ с большим числом,​

    ​Числовой формат не влияет​​рядом с надписью​ оригинал (на английском​

    ​Как сделать график в​
    ​ существует возможность построить​ имеет только одно​
    ​Для выполнения расчета щелкаем​

    ​ О работе с​​ мыши там можно​от/до/длина/"до" минус "от"/контроль​: или умножте ваши​ предлагаю его нулём​ формулам появился знак​
    ​ минус 12-ой означает:​ то что эксель​все готово​
    ​ можно применить другой​

    ​ на значение в​​число​
    ​ языке) .​

    Как в Excel когда он исправляет значение на Е+ как вернуть изначальное значение?

    ​ Excel​ график, взяв за​ поле –​ по кнопке​ этими инструментами мы​ настроить формат представления​ длины/к.д.текст​ числа например на​ не считать. :)​ E(пример :4,94758E-15).Что он​
    ​ 10 в минус​ понимать а там​Guest​ числовой формат, например​ ячейке, которая используется​.​Экспоненциальный​Как видим, рассчитать экспоненту​ основу результаты, полученные​

    ​«Число»​​Enter​ и поговорим далее.​ числа.​21.80/23.40/1.6/1.60/0.00/2.22045E-15​ 1 000 000​

    Функция EXP в Excel используется для возведения числа Эйлера (константа e, которая примерно равна 2,718) в указанную степень и возвращает соответствующее числовое значение.

    Примеры использования функции EXP в Excel

    Пример 1. Вкладчику банка предложили два варианта вклада:

    1. Вклад с годовой ставкой 16% и ежемесячной капитализацией.
    2. Вклад с непрерывной капитализацией (число периодов капитализации – бесконечное множество за время действия депозитного договора) с годовой ставкой 16%.

    Какое предложение является более выгодным? Сумма вклада – 50000 рублей, срок действия договора – 5 лет.

    Вид исходной таблицы данных:

    Формула для расчета будущей стоимости вклада для первого варианта депозитного договора:

    Во втором случае капитализация происходит непрерывно, поэтому можно воспользоваться следующей функцией:

    • C3 – годовая ставка;
    • C5 – срок действия договора;
    • C6 – начальная сумма вклада.

    Вариант с непрерывным ростом капитализации является более выгодным.

    Расчет скорости деления клеток ткани в Excel

    Пример 2. В начальный момент времени была только одна клетка живой материи. Каждые 5 минут такая клетка делится на 2 идентичные клетки. Определить, сколько клеток ткани образуется за 0,5 часа, 1,5 часа, сутки?

    Исходная таблица имеет следующий вид:

    Для расчета используем формулу массива:

    • A3 – прирост количества клеток (100%, то есть результатом деления одной клетки являются две новые клетки);
    • C3:C5/B3 – указанные по условию периоды, деленные на время жизни клетки до окончания процесса деления.

    Значение 1,E+125 эквивалентно 10 25 .

    Скорость уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени

    Пример 3. Количество радиоактивного вещества уменьшается вдвое за полгода. Сколько будет весить вещество спустя 2 года, если начальная масса составляла 18 кг.

    Вид исходной таблицы:

    Формула для расчета:

    • B5 – начальная масса вещества;
    • B2 – прирост (отрицательное значение, поскольку количество вещества уменьшается);
    • B4/B3 – количество периодов, за которые происходит полураспад.

    Спустя 2 года от 18 кг останется всего примерно 330 г.

    Особенности использования функции EXP в Excel

    Функция EXP имеет следующую синтаксическую запись:

    Единственным и обязательным для заполнения аргументом является число , которое характеризует числовое значение показателя степени, в которую необходимо возвести константу e.

    1. Функции LN и EXP являются противоположными друг другу по возвращаемому результату. Логарифм указывает, в какую степень необходимо возвести основание (в случае натурального логарифма lnx показатель равен примерно 2,718), чтобы получить показатель x. Функция EXP определяет показатель x.
    2. Аргумент число может быть задан любым числом из диапазона действительных чисел (целые и дробные отрицательные, положительные значения и 0). Результат выполнения =EXP(0) равен 1.
    3. В качестве аргумента EXP могут быть переданы логические значения ИСТИНА и ЛОЖЬ, которые будут автоматически преобразованы к числовым значениям 1 и 0 соответственно.
    4. Если в качестве аргумента число были переданы не преобразуемые к числовому значению имя или текстовая строка, функция EXP вернет код ошибки #ЗНАЧ!.
    5. Функцию можно использовать в качестве формулы массива.
    1. Как известно, число e является показателем степени натурального логарифма, который записывается, например, так: ln10, то есть, логарифм с основанием 2,718 из 10. Само число e является показателем роста для любого процесса, зависимые величины которого изменяются непрерывно с изменением независимых. В качестве примеров могут служить такие процессы, как деление живых клеток организма (через определенный период времени одна клетки делится на две, затем каждая из этих двух делится еще на две и так далее) или распад радиоактивных веществ (зная коэффициент распада можно узнать, сколько радиоактивного вещества уже распалось на более простые элементы).
    2. Число e используется для аппроксимации (создания упрощенной модели) систем, величины которых изменяются неравномерно.
    3. Чтобы понять физический смысл числа e, рассмотрим процесс роста капиталовложений в банке. Например, банк предложил 100%-е увеличение капитала по истечению определенного периода, например, 12 месяцев. То есть, прибыль вкладчика удвоится. Предположим, что процесс роста капитала является непрерывным на протяжении года. Тогда для расчета суммы капитала по истечению 6 месяцев можно использовать формулу R=(1+100%/2) 2 , где R – рост капитала, 2 – количество полупериодов роста. Если мы решим определить рост за 4 месяца, формула примет вид R=(1+100%/3) 3 , за 3 месяца — R=(1+100%/4) 4 и т. д. В общем случае имеем формулу R=(1+100%/x) x . Если x→∞ (стремится к бесконечности) R (рост) примет значение 2,718. Из этого следует, что максимально возможный 100%-й рост за мельчайший период времени не может превысить значение 2,718, которое и является числом e (числом Эйлера). В общем случае любой рост может быть выражен формулой R=e p*t , где p – прирост величины (например, не 100%, как в рассмотренном выше примеров, а 30%, то есть 0,3), а t – время (например, если депозитный договор рассчитан на 5 лет, то t=5). Тогда для расчета в Excel достаточно ввести формулу =EXP(0,3*5).
    Читайте также:  Смартфон до 12000 рублей 2018

    Отведем строку 20 для вычисления интегралов. Занесем в ячейку В20 формулу =СУММ(В3:В18)*0,05, где СУММ — встроенная функция EXCEL, вызываемая Мастером Функций. В ячейку С20 введем формулу =СУММ(С3:С17)*0,1. Числа, появившиеся в этих ячейках, достаточно сильно различаются между собой.

    Проведем аналогичные операции в столбцах D и Е для вычисления интеграла методом прямоугольников с узлом справа. Следует обратить внимание на то, что на этот раз в формулах отсутствуют значения, равные Х.

    В столбцах F и G проведем вычисления интеграла методом трапеций. Здесь следует обратить внимание на формулы в строках 3 и 19. В них подынтегральная функция должна быть поделена на 2 согласно формуле трапеций.

    Для метода прямоугольников с узлом в центре выделим столбцы Н и I. В ячейку Н3 должна быть введена формула =1/(1+A3+0,025), а в ячейку I3 — формула =1/(1+A3+0,5). Далее эти формулы должны быть скопированы до строки 18.

    И, наконец, для метода парабол возьмем столбцы J и K. В столбце J вычислим интеграл с шагом 0,05. Введем в ячейку J3 формулу =1/(1+A3), в ячейку J4 — формулу =4/(1+A4), в ячейку J5 — формулу =2/(1+A5). Далее выделим блок J4:J5 и скопируем его в блок J6:J18. Затем в ячейку J19 запишем формулу =1/(1+A19). При вычислении суммы в ячейке J20 надо не забыть, что в формуле участвует выражение h/3, а не просто h.

    Что касается столбца К, то формула в ячейке К3 совпадает с ячейкой J3, в ячейке К5 подынтегральная функция должна быть умножена на 4, а в ячейке К7 — умножена на 2 и т.д., кроме ячейки К19.

    Как видно из таблицы, метод парабол обладает наибольшей точностью из всех рассмотренных методов.

    8. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

    Как известно, лишь небольшое число типов уравнений первого порядка допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Тем большее значение имеют численные методы, позволяющие получить приближенное решение одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

    Пусть требуется найти приближенное решение уравнения

    удовлетворяющее начальному условию Y(X) = Y. Численное решение задачи состоит в вычислении таблицы приближенных значений Y1,Y2, . , Yn решения уравнения Y(X) в точках Х12, . ,Хn. Обычно, Xi = X+ih, где i=1,2, . ,n. Точки Хi называются узлами сетки, а величина h — шагом, причем 0

    Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так

    Найти решение уравнения

    c начальным условием Y(0) = -1 на отрезке [0;0,5] с шагом 0,1. Точность решения принять Е=0,0001.

    Откроем новый рабочий лист EXCEL. Отведем столбец А под значения Х. Учитывая правило двойного пересчета занесем в блок А3:А13 значения Х от 0 до 0,5 с шагом 0,05. Значения Y по методу Эйлера с шагом 0,05 и 0,1 будем вычислять в столбцах B и C, для оценки погрешности отведем столбец D. Проведем для сравнения здесь же решение этой задачи исправленным методом Эйлера. Столбцы E и F отведем под значения Yисп с шагом h и h/2, столбцы G и H — под значения коэффициента K1, столбцы I и J — под значения функции Фисп, столбец К — для оценки погрешности. В ячейки В3, С3, E3 и F3 внесем начальные значения Y=-1. Основные формулы в строках 3, 4 и 5 приведены в таблице

    ячейка формула
    Строка 3
    B3 -1
    C3 -1
    D3 =ABS(C3-B3)
    E3 -1
    F3 -1
    G3 =0,25*E3^2+A3^2
    H3 =0,25*F3^2+A3^2
    I3 =0,5*G3+0,5*(0,25*(E3+0,05*G3)^2+(A3+0,05)^2)
    J3 =0,5*H3+0,5*(0,25*(F3+0,1*H3)^2+(A3+0,1)^2)
    K3 =ABS(F3-E3)
    Строка 4
    B4 =B3+0,05*(0,25*B3^2+A3^2)
    E4 =E3+0,05*I3
    Строка 5
    C5 =C3+0,1*(0,25*C3^2+A3^2)
    F5 =F3+0,1*J3

    Формулы в остальных строках получаются копированием содержимого строк, указанных в таблице. Результаты вычислений EXCEL приведены ниже. Как видно из таблицы, расчеты методом Эйлера на порядок хуже, чем расчеты исправленным методом.

    8.2. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

    По этому одношаговому методу вычисления проводятся по формуле

    Метод Рунге-Кутта имеет порядок точности h 4 на всем отрезке интегрирования. Оценка погрешности метода очень затруднительна. Для оценки погрешности применяется правило двойного пересчета: расчет повторяют с шагом h/2 и погрешность более точного значения Yi* при шаге h/2 оценивают так

    max <çYi * — Yi ç/15> 4 . Обычно вычисляют D=çY4kor — Y4predç и если D E, то проводят одну или несколько итераций по формуле коррекции, вычисляя f4pred=f(Х4,Y4pred) и подставляя в эту формулу Y4kor вместо Y4pred. Как правило, для достижения заданной точности хватает одной или двух итераций.

    Решим методом Адамса задачу примера 8.1. Из примера 8.2 возьмем вычисленные значения Y1, Y2 и Y3. Продолжим вычисления по формулам Адамса для Х4 и Х5 на том же рабочем листе. Отведем блок А26:А31 под значения Х с шагом 0,1. В блок В26:В29 занесем значения Y из примера 9.2. В столбце С будем вычислять значения функции f на каждом шаге. В остальных столбцах будем последовательно располагать значения Фpred, Y4pred, f4pred, Фkor, Y4kor, D. Необходимые для вычислений формулы приведены в таблице

    ячейка формула
    C26 =0,25*B26^2+A26^2
    D29 =55*C29-59*C28+37*C27-9*C26
    E29 =B29+0,1/24*D29
    F29 =0,25*E29^2+A30^2
    G29 =9*F29+19*C29-5*C28+C27
    H29 =B29+0,1/24*G29
    I29 =ABS(E29-H29)
    B30 =H29

    Формулы в остальных ячейках, участвующих в вычислениях, получаются копированием. Результаты вычислений приведены в таблице

    Видно, что погрешность удовлетворяет заданному значению для последних двух точек и итераций не требуется. В противном случае следовало бы воспользоваться встроенной подпрограммой EXCEL Поиск решения так, как это описано в разделе 6.

    9. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

    Рассмотренные в предыдущем разделе одношаговые методы могут быть использованы для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений или для нахождения решения одного дифференциального уравнения высокого порядка. В последнем случае введением новых переменных оно сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрим последовательно решение задачи Коши и краевой задачи применительно к системам таких уравнений.

    Для получения однозначного решения системы дифференциальных уравнений должны быть заданы дополнительные условия. Их должно быть задано столько, каков порядок решаемой системы. Если все эти условия задаются в одной точке, т.е. при одном значении Х=Х, то такая задача называется задачей Коши. Эти дополнительные условия называются начальными условиями, а Х — называется начальной точкой.

    Покажем применение метода Рунге-Кутта четвертого порядка для решения задачи Коши системы двух уравнений вида

    По аналогии с разделом 8.2 запишем формулы Рунге-Кутта для приближенного решения этой системы

    В этих формулах i = 0,1,2. n-1. Для оценки погрешности используется правило двойного пересчета точно так же, как и при решении одного уравнения.

    К решению подобной системы уравнений можно свести решение задачи Коши для уравнения второго порядка

    d 2 Y/dX 2 = f(X,Y,dY/dX)

    Введем новую переменную Z(X) = dY/dX. Тогда исследуемое уравнение заменяется следующей системой из двух уравнений

    Применяя метод Рунге-Кутта, вычислить на отрезке [1;1,5] таблицу значений решения уравнения

    с начальными условиями Y(1)=0,77 и Y’(1)=-0,5, выбрав шаг 0,1 с погрешностью 0,0001.

    С помощью подстановки новой переменной Z, перейдем к решению системы уравнений

    с начальными условиями Y(1)=0,77 и Z(1)=-0,5.

    Откроем новый рабочий лист EXCEL и выделим в нем столбцы А, В и С под переменные X, Y и Z. В последующие столбцы будем вычислять последовательно, как и в примере 8.2, значения коэффициентов Ki, Ф1, Li, Ф2. Пусть значения Х помещаются в блок А3:А8. Тогда в ячейки В3 и С3 занесем начальные значения Y(1) и Z(1). Формулы в остальных ячейках строки 3 и 4 приведены в таблице

    Формулы в остальных строках решения получаются путем копирования.

    Читайте также:  Не удалось запустить дочернюю службу что делать

    Результаты решения задачи с шагом 0,1 приведены в таблице. Для оценки погрешности полученного решения следует провести решение вновь с шагом, равным половине начального, т.е. 0,05.

    9.2. Краевая задача: метод стрельбы.

    Если при решении дифференциального уравнения высокого порядка дополнительные условия, определяющие однозначное решение, заданы при разных значениях независимой переменной, обычно в двух точках, являющихся границами области решения уравнения, то такая задача называется краевой. При этом сами дополнительные условия называются граничными или краевыми.

    Рассмотрим решение краевой задачи для уравнения второго порядка

    d 2 Y/dX 2 = f(X,Y,dY/dX)

    Сущность метода стрельбы заключается в сведении краевой задачи к многократному решению задачи Коши для того же уравнения с подбором недостающего начального условия Y’(Х)=Z так, чтобы решение задачи Коши в точке Хn совпадало бы с заданным граничным условием Yn с заданной точностью Е.

    Алгоритм метода стрельбы таков.

    1) выбирается любое значение Z,

    2) исходное уравнение второго порядка приводится к системе из двух уравнений первого порядка введением дополнительных переменных,

    3) полученная система решается численным методом, например, методом Рунге-Кутта при некотором начальном значении шага h и запоминается полученное решение в точке Хn,

    4) шаг h уменьшается в два раза и вновь находится решение в точке Хn,

    5) если новое решение отличается от старого меньше, чем на заданную точность Е, то переходят к следующему этапу; иначе — возвращаются к предыдущему этапу и снова уменьшают шаг h в два раза и т.д. до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность,

    6) при выбранном значении шага, обеспечивающего необходимую точность решения, многократно решают задачу Коши, подбирая начальное условие Y’(Х)=Z так, чтобы получаемое в точке Y(Хn) решение отличалось от заданного краевого условия Yn меньше, чем на заданную величину Е.

    Решим задачу примера 10.1 с граничными условиями Y(1)=0,77 и Y(1,5)=0,49281, выбрав шаг 0,1 с погрешностью 0,001.

    Для этого можно использовать таблицу примера 10.1, где был запрограммирован метод Рунге-Кутта. Изменяя значение в ячейке С3, нужно добиться получения в ячейке В8 заданного граничного значения. Конечно, сначала по правилу двойного пересчета следует убедиться в том, что выбранное значение шага h достаточно для достижения необходимой точности решения.

    9.3. Краевая задача: метод прогонки.

    Рассмотрим метод прогонки на примере решения уравнения второго порядка вида

    на отрезке [Х, Хn] с заданными граничными условиями Y(Х)=Y=А и Y(Хn)=Yn=В. Смысл решения заключается в расчете таблицы приближенных значений искомой функции Y(Х) в узлах Хi= Х+ih, где h=(Хn — Х)/n и i=1,2. n-1.

    Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные Y” и Y’ конечными центрально-разностными отношениями

    Используя эти формулы, приближенно заменим исходное дифференциальное уравнение второго порядка на систему линейных алгебраических уравнений

    где i=1,2. n-1 , Y=А и Yn=В. Решив эту систему, получим таблицу приближенных значений искомой функции. При большом n непосредственное решение такой системы, например, методом Гаусса становится громоздким. Учитывая специфический вид полученной системы алгебраических уравнений, а именно- что матрица коэффициентов ее трехдиагональна, применим специальный метод решения, называемый методом прогонки.

    Запишем систему в виде

    Введем дополнительные переменные

    Тогда решение системы определяется формулой

    Решим задачу примера 9.1 с граничными условиями Y(1)=0,77 и Y(1,5)=0,49281, выбрав шаг 0,1 с погрешностью 0,001.

    Как видно из условий задачи, h = 0,1, q=1, f=0, d=0, p=1/X для всех Х.

    Откроем новый рабочий лист и выделим блок А4:А9 под значения Х от 1 до 1,5. В блок В5:В8 занесем значения 1/X, отведем столбцы С,D,E для текущих значений ai, bi, ci, столбцы F и G — для значений vi и ui , а столбец Н — для значений Y.

    Занесем числа: в ячейку F4 — ноль, в ячейки G4 и H4 — число 0,77. Соответственно, в ячейку F9 — тоже ноль, в ячейки G9 и H9 — число 0,49281.

    Формулы ячеек в строке 5 представлены в таблице.

    ячейка формула
    B5 =1/A5
    C5 =1-B5*$B$2/2
    D5 =$B$2^2-2
    E5 =1+B5*$B$2/2
    F5 =-E5/(D5+C5*F4)
    G5 =-C5*G4/(D5+C5*F4)
    H5 =G5+F5*H6

    Формулы в строках 6,7,8 должны быть скопированы из строки 5. Результаты вычислений приведены ниже. Можно сравнить их с результатами расчетов в примере 10.2, чтобы оценить полученную погрешность.

    10. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

    Метод сеток или метод конечных разностей является одним из самых распространенных в настоящее время методов численного решения уравнений с частными производными. В его основе лежит идея замены производных конечно-разностными отношениями. Мы ограничимся случаем двух независимых переменных.

    Рассмотрим в качестве примера смешанную задачу для уравнения теплопроводности: найти значения функции U(X,T) , удовлетворяющие уравнению

    dU/dT = Dd 2 U/dX 2

    с начальными условиями (т.е. при Т=0) U(X,0) = f(X) и

    краевыми условиями первого рода U(0,T) = g1(T) и U(L,T) = g2(T).

    Таким образом может быть описана задача о распространении тепла в однородном стержне длины L , на концах которого поддерживается заданный температурный режим. Соответствующей заменой переменных эту задачу можно свести к каноническому уравнению при D=1 и L=1

    dU/dT = d 2 U/dX 2

    Заметим, что начальные и граничные условия должны быть согласованы, т.е. U(0,0) = f(0)= g1(0) и U(1,0)=f(1)= g2(0).

    Построим на плоскости X0T равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении Х и шагом l — в направлении Т:

    Х= ih ( i= 0,1,2. n) и T=jk (j=0,1,2. ).

    Обозначим Xi= ih и Tj= jk, а также U(Xi, Tj)=Ui,j. Любой узел этой сетки, номер которого (i,j), определяется координатами(Xi,Tj). Узлы сетки, лежащие на границе полуполосы Т>=0 и 0 2 U/dX 2 )i,j =( Ui,j-1 -2Ui,j + Ui,j+1)/h 2 ,

    а первую частную производную по временной координате — конечно-разностным отношением

    Тогда вместо исходного дифференциального уравнения, получаем алгебраическое уравнение вида

    Обозначив q=k/h 2 , приведем это уравнение к виду

    Задавая i=0,1,2. n и j=0, увидим, что все слагаемые в правой части этого уравнения могут быть вычислены из граничных условий. Поэтому таким образом можно вычислить все значения U на первом временном слое при j=1. Далее, задавая j=1, можно вычислить по этой формуле значения функции U во всех узлах второго временного слоя при j=2 и т.д. Такая схема вычислений называется явной. Доказано, что вычисления по этой схеме будут устойчивы, если 0 2 U/dX 2

    с начальными условиями (т.е. при Т=0) U(X,0) = Sin(pX) и 0 2 /2=0,005.

    Откроем новый рабочий лист EXCEL. Отведем столбец А под номера временных слоев от 0 до, например, 25. Заполним блок А3:А28 числами от 0 до 25. Во второй строке в ячейки В2:L2 занесем значения пространственной координаты Х от 0 до 1. В блок В3:В28 и в блок L3:L28 занесем нули — значения краевых условий. В ячейку С3 занесем формулу =SIN(3,1415*C2) и скопируем ее в блок D3:K3. Тем самым введем в нулевой временной слой начальные условия. Далее в ячейку С4 введем основную расчетную формулу, полученную из алгебраического конечно-разностного уравнения =(B3+D3)/2. Эту формулу надо скопировать в блок С4:L28.

    Результаты вычислений представлены в таблице для первых 19 слоев.

    Как видно, таблица малообозрима, а при увеличении количества временных слоев вообще становится неудобочитаемой. Результаты расчетов лучше всего представить в виде диаграммы. Для построения диаграммы надо выделить блок А2:L28 и вызвать Мастер Диаграмм. Появится диалог из пяти шагов. На шаге 1 из 5 следует убедиться в том, что выделен блок А2:L28 и щелкнуть по кнопке Шаг>. На шаге 2 из 5 нужно выбрать тип диаграммы — Поверхность. На шаге 3 из 5 выберем формат 1 диаграммы. Далее на шаге 4 из 5 выберем Ряды данных — в строках и в полях Отвести 0 строк введем 1 так, чтобы получилось Отвести 1 строк для меток оси Х. То же самое проделаем для оси Y — Отвести 1 столбцов для меток оси Y. На последнем шаге 5 из 5 в поле Название диаграммы введем текст “Уравнение теплопроводности”, в поле Название по оси категорий(Х) введем текст — “длина”, в поле Значений (Z)— текст”температура”, в поле Рядов (Y) — текст “слой”. Щелкнув по кнопке Закончить, получим диаграмму, примерный вид которой приведен ниже.

    Дата добавления: 2014-12-27 ; Просмотров: 1388 ; Нарушение авторских прав?

    Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

    Ссылка на основную публикацию
    Чернила для заправки маркеров
    Чернила перманентные E-MTK25 Перманентные чернила edding МTК 25. Чернила на спиртовой основе. В бутылочках с капиллярной пипеткой для заправки перманентных...
    Цифровой формат фото это
    Нажав на кнопку спуска фотоаппарата, мы получаем снимок и принимаем этот факт как должное. Но с момента щелчка затвора до...
    Цифровой фотоаппарат nikon coolpix a900
    19 декабря 2016 г. Обзор Nikon Coolpix A900 — компакт с 4K Nikon Coolpix A900 это компактная камера с большим...
    Чернила для принтера пушкин
    Основные характеристики: - стабильны при потоковой печати, в том числе при печати больших тиражей на термоструйных принтерах; - совместимы с...
    Adblock detector