Числа являющиеся полными квадратами

Числа являющиеся полными квадратами

Полный квадрат, или квадратное число, — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Иными словами, квадратом является целое число, квадратный корень из которого извлекается нацело. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3, а также представляет площадь квадрата со стороной, равной 3.

Квадратное число входит в категорию классических фигурных чисел.

Содержание

Примеры [ править | править код ]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Таблица квадратов

_0 _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 _8 _9
0_ 1 4 9 16 25 36 49 64 81
1_ 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2_ 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3_ 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4_ 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5_ 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6_ 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7_ 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8_ 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9_ 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Представления и свойства [ править | править код ]

Квадрат натурального числа n <displaystyle n> можно представить в виде суммы первых n <displaystyle n> нечётных чисел:

1: 1 = 1 <displaystyle 1=1>
2: 4 = 1 + 3 <displaystyle 4=1+3>
.
7: 49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 <displaystyle 49=1+3+5+7+9+11+13>
.

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:
n 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + . . . + ( n − 1 ) + ( n − 1 ) + n <displaystyle n^<2>=1+1+2+2+. +(n-1)+(n-1)+n>
Пример:

Читайте также:  Учебник по node js

1: 1 = 1 <displaystyle 1=1>
2: 4 = 1 + 1 + 2 <displaystyle 4=1+1+2>
.
4: 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 <displaystyle 16=1+1+2+2+3+3+4>
.

Сумма квадратов первых n <displaystyle n> натуральных чисел вычисляется по формуле [1] :

∑ k = 1 n k 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 <displaystyle sum _^k^<2>=1^<2>+2^<2>+3^<2>+. +n^<2>=<frac <6>>>

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до n + 1 <displaystyle n+1> :
∑ k = 1 n k 3 + ( n + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k + 1 ) 3 = ∑ k = 0 n ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) = ∑ k = 0 n k 3 + ∑ k = 0 n 3 k 2 + ∑ k = 0 n 3 k + ∑ k = 0 n 1 = ∑ k = 0 n k 3 + 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 <displaystyle sum _^k^<3>+(n+1)^<3>=sum _^(k+1)^<3>=sum _^(k^<3>+3k^<2>+3k+1)=sum _^k^<3>+sum _^3k^<2>+sum _^3k+sum _^1=sum _^k^<3>+3sum _^k^<2>+3sum _^k+sum _^1>
Получим:
( n + 1 ) 3 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ∑ k = 0 n k + ∑ k = 0 n 1 = 3 ∑ k = 0 n k 2 + 3 ( n + 1 ) n 2 + ( n + 1 ) <displaystyle (n+1)^<3>=3sum _^
k^<2>+3sum _^k+sum _^1=3sum _^k^<2>+3<frac <(n+1)n><2>>+(n+1)>
Умножим на 2 и перегруппируем:
6 ∑ k = 0 n k 2 = 2 ( n + 1 ) 3 − 3 ( n + 1 ) n − 2 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ( 2 ( n + 1 ) 2 − 3 n − 2 ) = ( n + 1 ) ( 2 n 2 + n ) = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) <displaystyle 6sum _^
k^<2>=2(n+1)^<3>-3(n+1)n-2(n+1)=(n+1)(2(n+1)^<2>-3n-2)=(n+1)(2n^<2>+n)=n(n+1)(2n+1)>
∑ k = 0 n k 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 <displaystyle sum _^
k^<2>=<frac <6>>> (В рассуждениях использована формула: ∑ k = 0 n k = ( n + 1 ) n 2 <displaystyle sum _^k=<frac <(n+1)n><2>>> , вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени N <displaystyle N> может быть выражена как функция N + 1 <displaystyle N+1> степени. Исходя из этого факта предположим:
∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = A n 3 + B n 2 + C n + D <displaystyle sum _^k^<2>=f(n)=An^<3>+Bn^<2>+Cn+D>
f ( 0 ) = 0 ; f ( 1 ) = 1 ; f ( 2 ) = 5 ; f ( 3 ) = 14 <displaystyle f(0)=0;f(1)=1;f(2)=5;f(3)=14>
Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
< 0 A + 0 B + 0 C + D = 0 A + B + C + D = 1 8 A + 4 B + 2 C + D = 5 27 A + 9 B + 3 C + D = 14 <displaystyle <egin0A+0B+0C+D=0\A+B+C+D=1\8A+4B+2C+D=5\27A+9B+3C+D=14\end>> Решив её, получим A = 1 3 , B = 1 2 , C = 1 6 , D = 0 <displaystyle A=<frac <1><3>>,B=<frac <1><2>>,C=<frac <1><6>>,D=0>
Таким образом:
∑ k = 0 n k 2 = f ( n ) = 1 3 n 3 + 1 2 n 2 + 1 6 n + 0 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 <displaystyle sum _^
k^<2>=f(n)=<frac <1><3>>n^<3>+<frac <1><2>>n^<2>+<frac <1><6>>n+0=<frac <6>>>

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 + ⋯ = π 2 6 <displaystyle sum _^<infty ><frac <1><2>>>=<frac <1><1^<2>>>+<frac <1><2^<2>>>+dots +<frac <1><2>>>+dots =<frac <pi ^<2>><6>>>

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. [3] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства:

Понятие квадрата обобщается на произвольные мультипликативные группы. В частности, в кольцах вычетов квадратам соответствуют квадратичные вычеты.

Читайте также:  Программа переноса системы с hdd на ssd

См. также

Примечания

  1. K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression (англ.)

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Квадратное число" в других словарях:

КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО — (от лат. quadratum. квадрат). Произведете какого нибудь числа, помноженного само на себя. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО от лат. quadratum, квадрат. Произведение какого нибудь… … Словарь иностранных слов русского языка

Центрированное квадратное число — – это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного… … Википедия

Квадратное пирамидальное число — Геометическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30. В математике пирамидальное чис … Википедия

Квадратное уравнение — Квадратное уравнение алгебраическое уравнение общего вида где свободная переменная, , , коэффициенты, причём Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого ура … Википедия

100 (число) — 100 сто 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 · 103 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 · 130 200 · 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 Факторизация: 2×2×5×5 … Википедия

200 (число) — 200 двести 197 · 198 · 199 · 200 · 201 · 202 · 203 170 · 180 · 190 · 200 · 210 · 220 · 230 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 · 500 … Википедия

Треугольное число — Треугольное число это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n е треугольное число это сумма n первых натуральных чисел.… … Википедия

30 (число) — 30 тридцать 27 · 28 · 29 · 30 · 31 · 32 · 33 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 · 60 Факторизация: 2×3×5 Римская запись: XXX Двоичное: 1 1110 … Википедия

Читайте также:  Просмотр mkv на android

Квадрат (число) — Квадрат или квадратное число целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади … Википедия

10 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 10 (значения). 10 десять 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 20 · 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 Факторизация: 2×5 Римская запись: X Двоичное … Википедия

Таблица квадратов или таблица возведения чисел во вторую степень. Интерактивная таблица квадратов и изображения таблицы в высоком качестве.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 4 9 16 25 36 49 64 81
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801

Таблица квадратов

Теория

Квадрат числа – это результат умножения числа само на себя. Операция вычисления квадрата числа – это частный случай возведения числа в степень, в данном случае во вторую:

Данное выражение читается: «возвести в квадрат число 6» или «6 в квадрате».

Скачать таблицу квадратов

  • Нажмите на картинку чтобы посмотреть в увеличенном виде.
  • Нажмите на надпись «скачать», чтобы сохранить картинку на свой компьютер. Изображение будет с высоким разрешением и в хорошем качестве.
Ссылка на основную публикацию
Чернила для заправки маркеров
Чернила перманентные E-MTK25 Перманентные чернила edding МTК 25. Чернила на спиртовой основе. В бутылочках с капиллярной пипеткой для заправки перманентных...
Цифровой формат фото это
Нажав на кнопку спуска фотоаппарата, мы получаем снимок и принимаем этот факт как должное. Но с момента щелчка затвора до...
Цифровой фотоаппарат nikon coolpix a900
19 декабря 2016 г. Обзор Nikon Coolpix A900 — компакт с 4K Nikon Coolpix A900 это компактная камера с большим...
Чернила для принтера пушкин
Основные характеристики: - стабильны при потоковой печати, в том числе при печати больших тиражей на термоструйных принтерах; - совместимы с...
Adblock detector