Чему равно произведение векторов

Чему равно произведение векторов

Векторным произведением векторов (mathbf) и (mathbf) называется третий вектор (mathbf), модуль которого равен произведению модулей векторов (mathbf) и (mathbf) на синус угла ( heta) между ними, перпендикулярен им и направлен таким образом, что тройка векторов (mathbf), (mathbf), (mathbf) образует правую систему:
(mathbf
imes mathbf = mathbf), где
• (left| mathbf

ight| = left| mathbf

ight| cdot left| mathbf
ight| cdot sin heta,;;0 le heta le largefrac<pi ><2>
ormalsize 😉
• (mathbf ot mathbf
,;mathbf ot mathbf😉
• (mathbf
), (mathbf), (mathbf) образуют правую систему.

Модуль векторного произведения векторов (mathbf) и (mathbf) равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах:
(S = left| <mathbf
imes mathbf>
ight| = left| mathbf

ight| cdot left| mathbf
ight| cdot sin heta )

Угол между векторами , выраженный через их векторное произведение
(sin heta = largefrac <<left| <mathbf imes mathbf>
ight|>> <<left| mathbf

ight| cdot left| mathbf
ight|>>
ormalsize)

Свойство антикоммутативности векторного произведения
(mathbf imes mathbf = — left( <mathbf imes mathbf>
ight))

Ассоциативность векторного произведения относительно умножения на число
(left( <lambda mathbf>
ight) imes left( <mu mathbf>
ight) = lambda mu mathbf
imes mathbf)

Дистрибутивное свойство векторного произведения относительно сложения векторов
(mathbf imes left( <mathbf+ mathbf>
ight) = mathbf
imes mathbf + mathbf imes mathbf)

Векторное произведение векторов (mathbf) и (mathbf) равно нулевому вектору, если (mathbf) и (mathbf) параллельны (коллинеарны):
(mathbf
imes mathbf = mathbf<0>), если (mathbfparallel mathbf left( < heta = 0>
ight)).

Векторное произведение единичных координатных векторов
(mathbf imes mathbf = mathbf imes mathbf = mathbf imes mathbf = mathbf<0>)

Векторное произведение несовпадающих единичных векторов
(mathbf imes mathbf = mathbf), (mathbf imes mathbf = mathbf), (mathbf imes mathbf = mathbf.)

Векторное произведение двух векторов в трёхмерном евклидовом пространстве — вектор, перпендикулярный обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами, а выбор из двух направлений определяется так, чтобы тройка из по порядку стоящих в произведении векторов и получившегося вектора была правой [⇨] . Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Таким образом, для определения векторного произведения двух векторов необходимо задать ориентацию пространства, то есть сказать, какая тройка векторов является правой, а какая — левой. При этом не является обязательным задание в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат. В частности, при заданной ориентации пространства результат векторного произведения не зависит от того, является ли рассматриваемая система координат правой или левой. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов в правой и левой ортонормированной прямоугольной системе координат отличаются знаком.

Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Оно является антикоммутативным и, в отличие от скалярного произведения векторов, результат является опять вектором.

Читайте также:  Переклеить фотографию в паспорте

Полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы коллинеарны.

Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения.

Содержание

История [ править | править код ]

Векторное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году [1] одновременно со скалярным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как векторная и скалярная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю [2] .

Определение [ править | править код ]

Векторным произведением вектора a → <displaystyle <vec >> на вектор b → <displaystyle <vec >> в трёхмерном евклидовом пространстве называется вектор c → <displaystyle <vec >> , удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c → <displaystyle <vec >>равна произведению длин векторов a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>на синусугла между ними (т.е. площади параллелограмма, образованного векторами a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>);
  • вектор c → <displaystyle <vec >>ортогонален каждому из векторов a → <displaystyle <vec >>и b → <displaystyle <vec >>;
  • вектор c → <displaystyle <vec >>направлен так, что тройка векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >>является правой
  • [⇨] .

c → = [ a → b → ] = [ a → , b → ] = a → × b → = a → ∧ b → . <displaystyle <vec >=[<vec ><vec >]=[<vec >,;<vec >]=<vec > imes <vec >=<vec >wedge <vec >.>

Замечания [ править | править код ]

В качестве определения можно использовать описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой (или левой) прямоугольной системе координат.

Также в качестве исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения.

Правые и левые тройки векторов в трёхмерном евклидовом пространстве [ править | править код ]

Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных (линейно независимых) векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> в трёхмерном евклидовом пространстве. В ориентированном пространстве такая тройка векторов будет либо «правой», либо «левой».

Геометрическое определение [ править | править код ]

Совместим начала векторов в одной точке. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a → , b → , c → <displaystyle <vec >,<vec >,<vec >> в трёхмерном пространстве называется правой, если с конца вектора c → <displaystyle <vec >> кратчайший поворот от вектора a → <displaystyle <vec >> к вектору b → <displaystyle <vec >> виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой.

Определение с помощью руки [ править | править код ]

Другое определение связано с правой рукой человека, откуда и берётся название. На рисунке тройка векторов a → <displaystyle <vec >> , b → <displaystyle <vec >> , a → × b → <displaystyle <vec > imes <vec >> является правой.

Читайте также:  В хроме не скачиваются файлы

Алгебраическое определение [ править | править код ]

Существует также аналитический способ определения правой и левой тройки векторов, который требует задания в рассматриваемом пространстве правой или левой системы координат, причём не обязательно прямоугольной и ортонормированной.

Нужно составить матрицу, первой строкой которой будут координаты вектора a → <displaystyle <vec >> , второй — вектора b → <displaystyle <vec >> , третьей — вектора c → <displaystyle <vec >> . Затем, в зависимости от знака определителя этой матрицы, можно сделать следующие выводы:

  • Если определитель положителен, то тройка векторов имеет ту же ориентацию, что и система координат.
  • Если определитель отрицателен, то тройка векторов имеет ориентацию, противоположную ориентации системы координат.
  • Если определитель равен нулю, то векторы компланарны (линейно зависимы).

Замечания [ править | править код ]

Определения «правой» и «левой» тройки векторов зависят от ориентации пространства, но не требуют задания в рассматриваемом пространстве какой-либо системы координат, как и не требует этого определение самого векторного произведения. При этом формулы выражения координат векторного произведения через координаты исходных векторов будут отличаться знаком в правой и левой прямоугольной системе координат.

Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

При заданной ориентации пространства система координат называется правой (левой), если тройка из векторов с координатами ( 1 , 0 , 0 ) <displaystyle (1,0,0)> , ( 0 , 1 , 0 ) <displaystyle (0,1,0)> , ( 0 , 0 , 1 ) <displaystyle (0,0,1)> является правой (левой).

Геометрическое определение и определение с помощью руки сами задают ориентацию пространства. Алгебраическое определение задаёт способ разбить тройки некомпланарных векторов на два класса одинаково ориентированных векторов, но оно не задаёт ориентацию пространства, а использует уже заданную — ту, на основании которой данная система координат считается правой или левой. При этом, если ориентация системы координат неизвестна, можно сравнивать знак определителя со знаком определителя другой тройки некомпланарных векторов, ориентация которой известна — если знаки совпадают, то тройки одинаково ориентированы, если знаки противоположны — тройки ориентированы противоположно.

Определение. Векторным произведением вектора а на вектор b называется новый вектор с, который определяется следующим образом:

1) модуль вектора с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах а и b как на сторонах, т. е.

(73)

2) вектор с перпендикулярен к обоим перемножаемым векторам;

3) направление вектора с таково, что, смотря из его конца вдоль вектора, поворот по кратчайшему пути от вектора а к вектору b мы будем видеть совершающимся против движения часовой стрелки (рис. 74).

Векторное произведение векторов а и b обозначается символом

Рассмотрим физическую задачу, решение которой приводит к операции векторного произведения двух векторов.

Покажем, как вычисляется скорость точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (рис. 75). Допустим, что твердое тело вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси. Введем вектор угловой скорости .

Читайте также:  Телефон планшет ноутбук фото

Этот вектор направлен по оси вращения тела в ту сторону, из которой вращение тела видно против движения часовой стрелки.

Пусть М — произвольная точка тела. Скорость этой точки направлена по касательной к окружности, описываемой точкой при вращении тела. При этом плоскость окружности перпендикулярна оси вращения. Величина скорости точки М равна произведению модуля угловой скорости на расстояние d точки М до оси вращения, т. е.

Возьмем на оси вращения произвольную точку О и отложим из нее вектор и вектор . Обозначим угол между векторами через у.

Тогда из треугольника имеем (см. рис. 75).

Подставляя это значение d в формулу (74), находим

Скорость v точки М перпендикулярна векторам , и из конца вектора скорости v кратчайший поворот от вектора со к вектору виден совершающимся против движения часовой стрелки.

Поэтому на основании определения векторного произведения имеем:

Рассмотрим теперь основные свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак, сохраняя модуль. Таким образом, векторное произведение не обладает переместительным свойством.

Действительно, из определения векторного произведения следует, что векторы имеют одинаковые модули, расположены на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Поэтому векторы являются противоположными векторами и, следовательно,

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Докажем его, например, для случая

Вектор перпендикулярен векторам а и b. Вектор также перпендикулярен векторам а и b, так как векторы а и b, и b лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы коллинеарны. Очевидно, что направления их также совпадают. Поэтому

Подобным же образом проводится доказательство и для случая

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством, т. е.

Вывод этой формулы мы здесь приводить не будем.

4. Если векторное произведение двух векторов равно нуль-вектору, то либо равен нуль-вектору один из перемножаемых векторов, либо равен нулю синус угла между ними, т. е. векторы коллинеарны.

Обратно, если два ненулевых вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нуль-вектору.

Таким образом, для того чтобы два ненулевых вектора а и b были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору.

Отсюда, в частности, следует, что векторное произведение вектора на самого себя равно нуль-вектору:

Рассмотрим примеры на применение указанных свойств.

Пример 1. Найти .

Так как , то получаем

Призер 2. На векторах ОА и ОВ построен параллелограмм ОАСВ. Вычислить площадь параллелограмма OCDE, стороны которого ОЕ и ОС ргвны соответствующим диагоналям первого параллелограмма ОABC. При этом (рис. 76).

Решение. По определению векторного произведения

Так как , то .

Ссылка на основную публикацию
Цифровой формат фото это
Нажав на кнопку спуска фотоаппарата, мы получаем снимок и принимаем этот факт как должное. Но с момента щелчка затвора до...
Фото на зеленом фоне хромакей
Зеленый фон или «хромакей» применяют при съемках для последующей его замены на любой другой. Хромакей может быть и другого цвета,...
Фото на скайп для пацанов
Крутые фотографии пацанов на аву: фото без лица, в маске анонима, крутые пацаны с битами и с пистолетами. Крутые фото...
Цифровой фотоаппарат nikon coolpix a900
19 декабря 2016 г. Обзор Nikon Coolpix A900 — компакт с 4K Nikon Coolpix A900 это компактная камера с большим...
Adblock detector