Чем последовательность отличается от функции

Чем последовательность отличается от функции

Предел последовательности

В основе математического анализа лежит важнейшее понятие предела переменной величины. Рассмотрим это понятие на простейшем случае, когда переменной величиной является функция целочисленного аргумента, т.е. числовая последовательность.

Пусть задана некоторая бесконечная числовая последовательность . Изобразив ее члены точками на числовой прямой, в некоторых случаях можно заметить, что с возрастанием номера членов последовательности эти точки начинают все ближе и ближе «подбираться» к одной точке, изображающей некоторое постоянное число «a» (не обязательно являющееся членом последовательности), т.е. расстояние на числовой прямой между числом «a» и членами последовательности становится все меньше. Известно, что расстояние на числовой прямой между точками, изображающими числа x и a, равно |x-a|,
system

Определение. Число a называют пределом бесконечной числовой последовательности , если для всякого числа ε>0 (как бы мало оно ни было) можно указать такой номер M, зависящий от ε (M=M(ε)), начиная с которого все члены Xn с номерами большими M(n>M), будут удовлетворять неравенству |Xn-a| а, если для всякого числа ε>0 (как бы мало оно ни было) можно указать такое число δ(δ = δ(ε))>0, что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству |x-a| a только с одной стороны (справа (x>a)или слева (хпределом функции у = f(х) в точке x = a справа или слева и обозначают:

Существует понятие о бесконечном пределе, хотя это и означает отсутствие предела как числа.

Определение. lim(х) = ±∞, если для любого числа М>0 можно указать такое число δ(δ = δ(M)), что для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 0 М.

Доверь свою работу кандидату наук!

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Читайте также:  Как узнать телефон через одноклассники

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

  • постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1.
  • возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
  • убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Читайте также:  Леспромхоз ведет заготовку деловой древесины

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:


Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

  1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
  2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
  3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

  1. Последовательность может иметь только один предел.
  2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
  3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
  4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
  5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
  6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
  7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
  8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
  9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
  10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.
Читайте также:  Что можно сделать со сломанными телефонами

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Последовательность — это факт, а функция — это закон по которому строится последовательность.

Разница приблизительно как между машиной и инструкцией по созданию машин 🙂

Числовая последовательность — это последовательность чисел, отвечающих определённому правилу
какому?

функция же — это закон соответствия между двумя множествами, по которому для каждого элемента из первого множества соответствует единственный элемент из второго множества

Ссылка на основную публикацию
Цифровой формат фото это
Нажав на кнопку спуска фотоаппарата, мы получаем снимок и принимаем этот факт как должное. Но с момента щелчка затвора до...
Фото на зеленом фоне хромакей
Зеленый фон или «хромакей» применяют при съемках для последующей его замены на любой другой. Хромакей может быть и другого цвета,...
Фото на скайп для пацанов
Крутые фотографии пацанов на аву: фото без лица, в маске анонима, крутые пацаны с битами и с пистолетами. Крутые фото...
Цифровой фотоаппарат nikon coolpix a900
19 декабря 2016 г. Обзор Nikon Coolpix A900 — компакт с 4K Nikon Coolpix A900 это компактная камера с большим...
Adblock detector