Центробежный момент инерции прямоугольника

Центробежный момент инерции прямоугольника

Если m = 1, n = 1, тогда получим характеристику

которая называется центробежным моментом инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dA на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения А.

Если хотя бы одна из осей y или z является осью симметрии сечения, центробежный момент инерции такого сечения относительно этих осей равен нулю (так как в этом случае каждой положительной величине z·y·dA можем поставить в соответствие точно такую же, но отрицательную, по другую сторону от оси симметрии сечения, см. рисунок).

Рассмотрим дополнительные геометрические характеристики, которые могут быть получены из перечисленных основных и также часто используются в расчетах на прочность и жесткость.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции Jp называют характеристику

С другой стороны,

Полярный момент инерции (относительно данной точки) – сумма произведений элементарных площадей dA на квадраты их расстояний до этой точки, взятая по всей площади сечения А.

Размерность моментов инерции – м 4 в СИ.

Момент сопротивления

Момент сопротивления относительно некоторой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию (ymax или zmax) до наиболее удаленной от этой оси точки

Размерность моментов сопротивления – м 3 в СИ.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

Радиусы инерции выражаются в м в системе СИ.

Замечание: сечения элементов современных конструкций часто представляют собой некоторую композицию из материалов с разным сопротивлением упругим деформациям, характеризуемым, как известно из курса физики, модулем Юнга E. В самом общем случае неоднородного сечения модуль Юнга является непрерывной функцией координат точек сечения, т. е. E = E(z, y). Поэтому жесткость неоднородного по упругим свойствам сечения характеризуется более сложными, чем геометрические характеристики однородного сечения, характеристиками, а именно упруго-геометрическими вида

2.2. Вычисление геометрических характеристик простых фигур

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z. Разобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихован) равна dA = b · dy. Подставляя значение dA в первую формулу, получим

По аналогии запишем осевой момент относительно оси у:

Осевые моменты сопротивления прямоугольника:

;

Подобным образом можно получить геометрические характеристики и для других простых фигур.

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции Jp.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной и радиусом ρ; площадь такого кольца dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ . Подставляя выражение для dA в выражение для Jp и интегрируя, получим

2.3. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z и y:

Требуется определить моменты инерции этого сечения относительно «новых» осей z1 и y1, параллельных центральным и отстоящих от них на расстояние a и b соответственно:

Координаты любой точки в «новой» системе координат z11y1 можно выразить через координаты в «старых» осях z и y так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

Так как оси z и y – центральные, то статический момент Sz = 0.

Окончательно можем записать формулы «перехода» при параллельном переносе осей:

Отметим, что координаты a и b необходимо подставлять с учетом их знака (в системе координат z11y1).

Читайте также:  Драйвера для флешки windows 7 x64

2.4. Вычисление моментов инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции произвольного сечения относительно центральных осей z, y:

; ;

Повернем оси z, y на угол α против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Требуется определить моменты инерции относительно «новых» (повернутых) осей z1 и y1:

Координаты элементарной площадки dA в «новой» системе координат z10y1 можно выразить через координаты в «старых» осях так:

Подставляем эти значения в формулы для моментов инерции в «новых» осях и интегрируем почленно:

Проделав аналогичные преобразования с остальными выражениями, запишем окончательно формулы «перехода» при повороте координатных осей:

Отметим, что если сложить два первых уравнения, то получим

т. е. полярный момент инерции есть величина инвариантная (другими словами, неизменная при повороте координатных осей).

2.5. Главные оси и главные моменты инерции

До сих пор рассматривались геометрические характеристики сечений в произвольной системе координат, однако наибольший практический интерес представляет система координат, в которой сечение описывается наименьшим количеством геометрических характеристик. Такая «особая» система координат задается положением главных осей сечения. Введем понятия: главные оси и главные моменты инерции.

Главные оси– две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции принимают экстремальные значения (максимум и минимум).

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

Главные центральные оси принято обозначать буквами u и v; главные моменты инерции – Ju и Jv (по определению Juv = 0).

Выведем выражения, позволяющие находить положение главных осей и величину главных моментов инерции. Зная, что Juv = 0, воспользуемся уравнением (2.3):

Угол α определяет положение главных осей относительно любых центральных осей z и y. Угол α откладывается между осью z и осью u и считается положительным в направлении против часовой стрелки.

Заметим, что если сечение имеет ось симметрии, то, в соответствии со свойством центробежного момента инерции (см. разд.2.1, п.4), такая ось всегда будет главной осью сечения.

Исключая угол α в выражениях (2.1) и (2.2) с помощью (2.4), получим формулы для определения главных осевых моментов инерции:

Запишем правило: ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (z или y), относительно которой момент инерции имеет большее значение.

2.6. Рациональные формы поперечных сечений

Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки при прямом изгибе определяются по формуле:

, (2.5)

где М – изгибающий момент в рассматриваемом поперечном сечении; у – расстояние от рассматриваемой точки до главной центральной оси, перпендикулярной плоскости действия изгибающего момента; Jx – главный центральный момент инерции сечения.

Наибольшие растягивающие и сжимающие нормальные напряжения в данном поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. Их определяют по формулам:

; ,

где у1 и у2 – расстояния от главной центральной оси Х до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокон.

Для балок из пластичных материалов, когда [σp] = [σc] ([σp], [σc] – допускаемые напряжения для материала балки соответственно на растяжение и сжатие), применяют сечения, симметричные относительно центральной оси. В этом случае условие прочности имеет вид:

[σ], (2.6)

где Wx = Jx / ymax – момент сопротивления площади поперечного сечения балки относительно главной центральной оси; ymax = h / 2 ( h – высота сечения); Мmax – наибольший по абсолютному значению изгибающий момент; [σ] – допускаемое напряжение материала на изгиб.

Читайте также:  Как переделать розетку 380 на 220

Кроме условия прочности балка должна удовлетворять и условию экономичности. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала (или при наименьшей площади поперечного сечения) получается наибольшая величина момента сопротивления. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, по возможности, распределять сечение подальше от главной центральной оси.

Например, двутавровая стандартная балка примерно в семь раз прочнее и в тридцать раз жестче, чем балка квадратного поперечного сечения той же площади сделанного из того же материала.

Необходимо иметь в виду, что при изменении положения сечения по отношению к действующей нагрузке прочность балки существенно изменяется, хотя площадь сечения остается неизменной. Следовательно, сечение надо располагать так, чтобы силовая линия совпадала с той из главных осей, относительно которых момент инерции минимален. Следует стремится, чтобы изгиб бруса проходил в плоскости его наибольшей жесткости.

Сопротивление материалов

Геометрические характеристики плоских сечений

При некоторых видах деформаций прочность и жесткость (способность противостоять деформации) элементов конструкций зависит не только от величины поперечного сечения, но и от формы этого сечения.
Самый простой пример — обыкновенную школьную линейку можно легко изогнуть относительно широкой стороны поперечного сечения и совершенно невозможно изогнуть относительно его короткой стороны. При этом общая площадь сечения в обоих случаях одинакова. На основании этого примера становится очевидным, что на сопротивление некоторым видам деформации оказывает влияние (иногда — решающее) не только величина площади сечения бруса, но и его геометрическая форма.
При изучении деформаций изгиба и кручения нам потребуется знание некоторых геометрических характеристик плоских сечений, которые оказывают влияние на способность конструкций сопротивляться деформациям относительно той или иной оси либо полюса (точки).

Чтобы понять суть явления и влияния этих геометрических характеристик на сопротивление бруса, например, изгибу, следует обратиться к основополагающим постулатам сопромата. Как известно из установленного в 1660 году английским физиком Робертом Гуком закона, напряжение в сечениях бруса прямо пропорционально его относительному удлинению. Очевидно, что волокна, расположенные дальше от оси изгиба, растягиваются (или сжимаются) сильнее, чем расположенные вблизи оси. Следовательно, и напряжения возникающие в них будут бόльшими.
Можно привести условную сравнительную аналогию между напряжением в разных точках сечения бруса с моментом силы — чем больше плечо силы — тем больше ее момент (относительно оси или точки). Аналогично — чем дальше от какого-либо полюса (оси) отстоит точка в сечении, тем большее напряжение в ней возникает при попытке изогнуть или скрутить брус относительно этого полюса (оси).

Статический момент площади

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (Si) на расстояния (ri)от них до этой оси.

Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:

  • разбить фигуру на крохотные (элементарные) площадки (рис. 1);
  • умножить площадь каждой площадки на расстояние ri от ее центра до рассматриваемой оси;
  • сложить полученные результаты.
Читайте также:  Внутреннее устройство microsoft windows 6 е издание

Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: Sx , Sy , Sz .

Примечание: в разных учебниках или других источниках информации обозначение тех или иных физических величин может отличаться от приведенных на этом сайте. Как вы понимаете, от условного обозначения величин суть описываемых явлений и закономерностей не изменяется.

Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.
Из этого вывода следует еще один вывод — если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.

Единица измерения статического момента площади — метр кубический (м 3 ).
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей. При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части — прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (Si) этой фигуры на квадрат их расстояний (r 2 i) до полюса.
Полярный момент инерции обозначают Iρ (иногда его обозначают Jρ ), а формула для его определения записывается так:

Единица измерений полярного момента инерции — м 4 , из чего следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.


6.2. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Момент инерции – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты расстояний от них до этой оси. Осевые моменты инерции где ρ – расстояние от площадки dA до точки (полюса), относительно которого вычисляется полярный момент инерции. Полярный момент инерции связан с осевыми моментами инерции то есть для любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс Центробежный момент инерции определяется интегралом произведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может принимать значения «+», «–» и ноль. Если фигура имеет ось симметрии, то относительно этой оси центробежный момент инерции равен нулю. Пример 6.2. Найти моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных основанию и высоте. Решение. dA – элементарная площадь; Аналогичное решение относительно оси у. Таким образом Пример 6.3. Найти моменты инерции круглого и кольцевого сечений. Решение. Площадь элементарного кольца радиусом ρ и толщиной dρ: A=⋅ d2 ρπdρ. Полярный момент инерции круга: Поскольку имеется связь I p = Iz + I y , а для круга Таким образом, полярный и осевые моменты инерции круга Обозначая с = – коэффициентом пустотелости, получим полярный и осевые моменты инерции кольца

Ссылка на основную публикацию
Фото на зеленом фоне хромакей
Зеленый фон или «хромакей» применяют при съемках для последующей его замены на любой другой. Хромакей может быть и другого цвета,...
Файловая система для операционной системы windows
Вы знаете, что Windows Phone использует NTFS? Почему большинство карт памяти и почти все USB-накопители по-прежнему используют старый-добрый FAT? Почему...
Файлы в карантине что с ними делать
содержит все нейтрализованные вредоносные программы в корзине в течение определенного периода времени до того момента, как применит к ним соответствующие...
Фото на скайп для пацанов
Крутые фотографии пацанов на аву: фото без лица, в маске анонима, крутые пацаны с битами и с пистолетами. Крутые фото...
Adblock detector